Para los "desviados" de la evolución del simbolismo, podemos ver :
[§674] Signos de Gergonne : Una teoría de la meccanisme du raisonnement fue ofrecido por J. D. Gergonne en un Essai de dialectique rationnelle (1816-1817); de ahí el símbolo de $H$ stands para completar la lógica de la disyunción, $X$ para el producto lógico, $I$ "identidad"," C "contiene" y Ɔ ("invertida C") para "está contenida en el."
[§685] Schröder [E. Schröder, Vorlesungen über die Álgebra der Logik, Vol. I (Leipzig, 1890)], utilizado $\subset$ "está incluido en" (untergeordnet) y $\supset$ "incluye" (ubergeordnet).
[§689] Peano expresa las relaciones y operaciones de la lógica en el Volumen I de su Formulaire de mathematiques [1895] (Introducción, pág. 7) por los signos $\in$, c, ɔ, [...] el significado de lo que son, respectivamente, "es" (es decir, es un miembro), "contiene", "es contenida," [...].
[690] Algunos símbolos adicionales se introducen [en el Número 2 del Volumen II de Peano del Formulaire]. Por lo tanto, "invertida c" se convierte en $\supset$. Por el simbolismo $p.\supset x \ldots z. q$ se expresa "de $p$ uno deduce, lo $x \ldots z$,$q$."
Tenemos en Peano, Formulaire, vol.2, página 26 :
En pourrait indiquer la relación $p \supset q$ par le signe $qCp$ qu'on lira "$q$ est conséquence de $p$".
Ver también en :
La edición original tiene un Signorum Tabula [página vi] con Ɔ : deducitur aut continetur.
Se puede ver también los Primeros Usos de los Símbolos de la Teoría de conjuntos y la Lógica.
A pesar de la aparente incoherencia, podemos conjeturar una explicación histórica para este tipo de "inversión" que utiliza la "herradura" ($\supset$) y donde (hoy) esperan encontrar la "inclusión" ($\subset$).
De acuerdo a Peano, tenemos $qCP$ " $q$ es una consecuencia de la $p$", y luego, a través de W&R Principia Mathematica a $p \supset q$ y el moderno $p \to q$.
Para la moderna lógica formal, la lógica proposicional es "antes de" la lógica de primer orden; pero desde la antigua Grecia hasta Principios de los tiempos Modernos, la lógica formal fue principalmente el Syllogistics que, a partir de un moderno punto de vista, id monádico la lógica de primer orden.
La base de "bloques de construcción" del silogismo es la afirmación :
"todos los $S$'s $P$s'"
que traducimos como $\forall x(Sx \to Px)$, y por lo tanto el "set" equivalente : $S \subset P$, donde hemos silencio pasado de los predicados (o atributos) $S,P$ a la correspondiente "extensión" : los conjuntos de $S,P$.
Así, tenemos un "simbólico" inconsistencia : $Sx \supset_x Px$ corresponde a $S \subset P$.
Pero en la "tradición" de la lógica también existe otra posible lectura de la categórica frases : "todos los $S$'s $P$'s". En Antes de Analytics, Aristóteles dice :
"$P$ pertenece a $S$".
El ejemplo habitual : "todos los $Men$$Mortal$", que se lee "estensionally" como "el conjunto de $Men \subset$ el de $Mortal$", también se puede leer "intensionally" como "$Mortality$ pertenece a $Humanity$".
Podemos ver en :
- Antoine Arnauld Y Pierre Nicole, la Lógica o el Arte de Pensar (La Logique ou l'art de penser, 1ª ed 1662, ed.Jill Vance Buroker, 1996), página 39 :
hay dos cosas que es más importante para distinguir claramente, la comprensión y la extensión.
Yo llame a la comprensión [es decir, la intención] de una idea de los atributos que contiene en sí mismo, y que puede retirarse sin destruir la idea. Por ejemplo, la comprensión de la idea de un triángulo contiene la forma, tres líneas, tres ángulos, y la igualdad de estos tres ángulos a dos ángulos rectos, etc.
De acuerdo a esta teoría, $Mortality$ pertenece a $Humanity$ exactamente porque el "atributo" de $Mortality$ está contenida en la idea de $Humanity$.
Así, a partir de la idea de $Humanity$ podemos "deducir" el atributo de la $Mortality$.
En conclusión, se puede trazar una ruta de :
"todos los $Men$$Mortal$"
para, de un lado : $Men(x) \supset_x Mortal(x)$, lo que leemos "estensionally" como : $Men \subset Mortal$, y, desde el otro lado : $Mortality$ pertenece a $Humanity$, que se lee como : de $Humanity$ podemos deducir $Mortality$, es decir, el uso de Peano símbolos : $Mortality \, C \, Humanity$, luego revertido en :
$Humanity \supset Mortality$.
Anexo
Ver :
- Leila Haaparanta (editor), el Desarrollo de La Moderna Lógica (2009), Ch.3. Lógica y Filosofía de la Lógica del Humanismo a Kant por Mirella Capozzi y Gino Roncaglia, página 78-en: §10. Lógica de los Cálculos en el Siglo Xviii, página 129 :
[el] trabajo Muestra Logicae universaliter demonstratae [1740] escrito por
el matemático y científico Johann Andreas Segner (1704-1777) con el
el objetivo explícito de tratamiento de syllogistic por medio de un cálculo (por calculum) basado en
en el ejemplo de álgebra.
Para este fin, Segner construye un sistema axiomático que consta de 16 definiciones,
3 postulados, y 2 axiomas. Las definiciones de la introducción de nuevas ideas, de sus relaciones,
su disposición en la jerarquía de los géneros y especies, y de las operaciones para
la formación de ideas. Segner define la idea como una representación mental de algo. Si
la idea es simple, sus contenidos no son claras las ideas y la idea más simple es confundir
para nosotros; si la idea es compuesto, sus contenidos son ideas claras y el compuesto
la idea es distinto para nosotros. En consecuencia, por definición, cada idea contiene alguna idea
dentro de sí mismo. De esta manera, Segner puede suponer la relación de contención
(visto desde un intensional perspectiva) como la base de la relación entre dos
ideas. Pero debe ser claro que Segner no identificar el contenido de una idea
con su comprensión , en el sentido de la de Port-Royal Lógica. Simplemente dice
que dado dos ideas $A$ y $B$, $A$ está contenida (o participar) en $B$ si, siempre que
$B$ se postula, $A$ es también dicho [y Segner escribe : $A < B$].
[...]
Axioma II : Si $A$ contiene $B$,$AB = A$.
Nota : claramente, $AB = A$, en nuestra moderna "extensional" de la lectura (como juegos) significa "$A$ es subconjunto de a $B$", y así tenemos a $A \subset B$. Segner, en cambio, dice : "$A$ contiene $B$".
[...]
"Todos los $A$ $B$" significa cualquiera de las $A = B$ o $A < B$.
Nota : de nuevo, para nosotros "todos los $A$ $B$" significa que los conjuntos de $A$'s es un subconjunto del conjunto de $B$'s, mientras que para Segner significa "la idea de $A$ contiene la idea de $B$".
Por lo tanto, $idea_A$ está contenido en $idea_B$ cuando la "si $idea_B$,$idea_A$"; de acuerdo a mi "interpretación" :
$idea_ACidea_B$ al $idea_B \supset idea_A$ (aquí se $\supset$ es la "herradura").
Consulte la página 133 :
En su Essai de dialectique rationelle José Díez Gergonne (1771-1859) considera cinco idea de relación con el uso de la noción de contención como básico, pero dándole un extensional interpretación: "las nociones generales se dice que contienen menos generales, que a la inversa se dice que los que figuran en la primera; de esta manera, la noción de relativa extensión de dos ideas se origina" (Gergonne 1816-17, 192). Este extensional interpretación de la noción de contención es utilizado por Gergonne para clasificar las relaciones
entre dos ideas a la par con los círculos de Leonhard Euler y para designar cada uno de ellos por un símbolo. Dos ideas $A$ $B$ donde $A$ es la menor idea general y $B$ es el más general, puede [...] (4) ser tal que $A$ está contenido en $B$, por lo que
se destacan en la relación $C$; (5) ser de tal manera que la $B$ está contenido en $A$, por lo que
que están en la relación "invertida C".
Por lo tanto, $idea_A$ está contenido en $idea_B$ al $A$ es menos general que la $B$, es decir :
$idea_ACidea_B$ al $extension_A \subset extension_B$ (aquí tenemos el "moderno" de la lectura).
