¿Por qué el grupo de Galois de un polinomio con n raíces distintas no es isomorfo a Sn?

Question

Si consideramos el polinomio $f(x)=x^3-3x-1 \in \mathbb{Q}[x]$ que tiene 3 raíces reales $\{x_1,x_2,x_3\}$ . He leído que su grupo de Galois es isomorfo a $A_3$ y no a $S_3$ . Realmente no entiendo esto. Si considero el mapa (Aquí $E$ es el campo de división de $f$ en $\mathbb{Q})$ :
\begin{align*} \sigma \colon E \to E\\ x_1 \mapsto x_2\\ x_3 \mapsto x_3\\ \mathbb{Q} \mapsto \mathbb{Q} \end{align*}

Esto correspondería a una transposición $(12)$ que no está en el grupo alterno.
¿Pero no es esto un $\mathbb{Q}$ -¿automorfismo? En realidad no entiendo por qué el grupo de Galois no es en general isomorfo a Sn (para n raíces distintas).

Answer 1

TL;DR El elemento $(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_2-x_3)$ se encuentra en $\Bbb{Q}$ pero no fijado por $\sigma$ .

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El siguiente teorema nos dice cuándo el grupo de Galois de un polinomio sobre $\Bbb{Q}$ se encuentra en $A_n$ :

Sea $f\in\Bbb{Q}[x]$ sea irreducible de grado $n$ y que $E$ sea un campo de división de $f$ . Identifique $\operatorname{Gal}(E/\Bbb{Q})$ con un subgrupo de $S_n$ enumerando las raíces de $f$ en $E$ . Si $\Delta(f)\in\Bbb{Q}$ es un cuadrado en $\Bbb{Q}$ entonces $\operatorname{Gal}(E/\Bbb{Q})$ se encuentra en $A_n$ .

La prueba muestra en particular por qué su mapa no es un automorfismo de campo de $E$ :

Sea $x_1,\ldots,x_n\in E$ sean las raíces de $f$ y que $S_n$ actuar $E$ por su acción sobre los índices de las raíces, es decir $\sigma(x_i):=x_{\sigma(i)}$ para todos $i$ . Consideremos el elemento $$\delta:=\prod_{1\leq i<j\leq n}(x_i-x_j)\in E.$$ Obsérvese que para todos los $\sigma\in S_n$ tenemos $\sigma(\delta)=\operatorname{sgn}(\sigma)\delta$ y que $\delta^2=\Delta(f)$ .

Si $\Delta(f)$ es un cuadrado en $\Bbb{Q}$ entonces $\delta\in\Bbb{Q}$ . De ello se deduce que $\sigma(\delta)=\delta$ para todos $\sigma\in\operatorname{Gal}(E\Bbb{Q})$ y, por tanto, que $\operatorname{sgn}(\sigma)=1$ para todos $\sigma\in\operatorname{Gal}(E\Bbb{Q})$ . Esto significa precisamente que $\operatorname{Gal}(E\Bbb{Q})$ se encuentra en $A_n$ .

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En este caso concreto vemos que $\Delta(x^3-3x-1)=81$ por lo que el elemento $$\delta=(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_2-x_3)=\pm9,$$ no está fijado por su mapa $\sigma$ Así que $\sigma$ no puede ser un automorfismo de campo de $E$ .