Supongamos que $(H,(\cdot,\cdot))$ es un espacio de Hilbert, $||\cdot||$ es la norma inducida por el producto escalar. Estoy tratando de encontrar todos los vectores que satisfagan $$||x+y|| = ||x||+||y||$$ Creo que la igualdad se mantiene si y sólo si $x = \lambda y$ .
Mi intento:
Si $x = \lambda y$ Entonces, si lo introducimos directamente, obtenemos la igualdad de los lados izquierdo y derecho (suponiendo que $\lambda$ es real).
Por el contrario, si $||x+y||^2 = (||x||+||y||)^2$ entonces $(x+y,x+y) = (x,x)+(y,y)+2(x,x)(y,y)$ y así $(x,y)+(y,x) = 2(x,x)(y,y)$ . Ahora quiero continuar diciendo que $2(x,y) = 2(x,x)(y,y)$ por lo que por Cauchy-Schwarz la igualdad se da cuando $x = \lambda y$ . Sin embargo, esto no funcionaría en un espacio de Hilbert complejo, ya que entonces no puedo decir que $(x,y)+(y,x)$ es lo mismo que $2(x,y)$ . ¿Cómo debo proceder?
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$(x,y)+(y,x) =2\text{Re}(x,y)\le 2||x||\,||y||$