¿Cuándo $||x+y|| = ||x||+||y||$

Question

Supongamos que $(H,(\cdot,\cdot))$ es un espacio de Hilbert, $||\cdot||$ es la norma inducida por el producto escalar. Estoy tratando de encontrar todos los vectores que satisfagan $$||x+y|| = ||x||+||y||$$ Creo que la igualdad se mantiene si y sólo si $x = \lambda y$ .

Mi intento:

Si $x = \lambda y$ Entonces, si lo introducimos directamente, obtenemos la igualdad de los lados izquierdo y derecho (suponiendo que $\lambda$ es real).

Por el contrario, si $||x+y||^2 = (||x||+||y||)^2$ entonces $(x+y,x+y) = (x,x)+(y,y)+2(x,x)(y,y)$ y así $(x,y)+(y,x) = 2(x,x)(y,y)$ . Ahora quiero continuar diciendo que $2(x,y) = 2(x,x)(y,y)$ por lo que por Cauchy-Schwarz la igualdad se da cuando $x = \lambda y$ . Sin embargo, esto no funcionaría en un espacio de Hilbert complejo, ya que entonces no puedo decir que $(x,y)+(y,x)$ es lo mismo que $2(x,y)$ . ¿Cómo debo proceder?

Answer 1

En el caso complejo, todavía se puede decir que $(x,y)+(y,x)=(x,y)+\overline{(x,y)}=2\operatorname{Re}(x,y)$ . Desde $|\operatorname{Re}(x,y)|\leq |(x,y)|$ todavía se puede utilizar Cauchy-Schwarz para obtener que $|(x,y)+(y,x)|\leq 2\|x\|\|y\|$ y que para que se cumpla la igualdad $x$ debe ser un múltiplo escalar de $y$ (suponiendo $y\neq 0$ ).

(Nótese que tanto en el caso real como en el complejo, sin embargo, Cauchy-Schwarz en la forma en que lo utiliza este argumento sólo te dice $x=\lambda y$ para algún escalar $\lambda$ es necesaria, no que sea suficiente. De hecho, no es suficiente en ninguno de los dos casos. Una forma sencilla de averiguar qué restricciones hay sobre $\lambda$ es simplemente enchufar $y=\lambda x$ y ver qué $\|x+y\|=\|x\|+\|y\|$ te lo dice. Tenga en cuenta que, contrariamente a lo que usted afirma, no es suficiente para $\lambda$ ser realistas: piensen en lo que ocurre cuando $\lambda=-1$ )

Answer 2

Sugerencia geométrica: la norma en un espacio complejo de Hilbert $H$ es igual a la norma en el espacio real de Hilbert $H_R$ que obtienes eligiendo una base $e_1, e_2, \ldots$ para $H$ y luego tomar $H_R$ tener $e_1, ie_1, e_2, ie_2, \ldots$ como base ortonormal. Por tanto, como tu pregunta sólo se refiere a la norma, basta con considerar espacios de Hilbert reales. Tu pregunta es entonces: ¿cuándo se cumple la igualdad en la desigualdad triangular $\|x - y\| \le \|x\| + \|y\|$ para dos vectores en el espacio euclídeo?