¿Interpretación geométrica de la serie central inferior para el grupo fundamental?

Question

Para cualquier grupo G podemos formar la serie central inferior de subgrupos normales tomando $G_0 = G$ , $G_1 = [G,G]$ , $G_{i+1} = [G,G_i]$ . Podemos comprobar que esto da una cadena normal

$G_0 > G_1 > ... > G_i >...$

En caso de que $G = \pi_1(X)$ El primer cociente $H^1 = G_0/G_1$ es bien conocido por ser el primer grupo homológico (que tiene un contenido geométrico bien conocido).

Pregunta 1:

¿Existen interpretaciones geométricas de los cocientes adicionales $G_i/G_{i+1}$ ?

¿Qué nos dice geométricamente sobre X la longitud (finita o infinita) de la cadena?

También podemos formar la serie central mod-p tomando $G^p_0 = G$ , $G_{i+1}^p = (G_i^p)^p[G,G^p_{i}]$ y formar de nuevo los cocientes $V_i^p = G^p_i/G^p_{i+1}$ . En este caso se trata de módulos (espacios vectoriales) sobre $Z_p$ .

Pregunta 2:

¿Cuáles son las interpretaciones de estos $V^p_i$ ? ¿Qué podemos decir si conocemos su dimensión (como espacio vectorial) o si son distintos de cero? Estoy particularmente interesado en i pequeño (= 1,2,3,4), y p pequeño (= 2 digamos).

Pregunta 3:

¿Existen buenos métodos para calcular el $V_i^p$ (tanto directos como indirectos)? Por ejemplo, una forma directa sería calcularlos a partir de una presentación del grupo fundamental. ¿Es esto posible (con programas como GAP) si la presentación es "pequeña" en algún sentido? ¿Puedo acotar su dimensión (por encima o por debajo)?

¿Existen formas indirectas de calcular estos espacios vectoriales? ¿Como homología/cohomología de algún otro objeto en X? ¿Como otra cosa? ¿Homología de grupo?

Pregunta 4:

¿Existe una buena fuente para este tipo de preguntas? ¿Alguien ha calculado las V para superficies compactas (orientables o no)?

Respuestas o (aún mejor) referencias para trabajar en este tipo de preguntas sería genial. Estoy especialmente interesado en ejemplos trabajados para superficies y pequeñas i.

Answer 1

A riesgo de resultar obvio, y en relación con la pregunta 1:

¿Qué nos dice geométricamente sobre X la longitud (finita o infinita) de la cadena?

Un grupo para el que la serie central inferior termina tras un número finito de pasos se denomina nilpotente y entonces la longitud de la serie central inferior se llama clase de nilpotencia del grupo.

Existe una enorme literatura sobre cómo la clase de nilpotencia del grupo fundamental de una variedad interactúa con su geometría. Para un buen ejemplo, véase

Belegradek, I.; Kapovitch, V. Pinching estimates for negatively curved manifolds with nilpotent fundamental groups. Geom. Funct. Anal. 15 (2005), no. 5, 929-938.

También vale la pena mencionar que los espacios nilpotentes (espacios $X$ para lo cual $\pi_1(X)$ es nilpotente y actúa nilpotentemente sobre $\pi_k(X)$ para todos $k\geq 2$ ) son una clase importante de espacios en la teoría de homotopía. Esto se debe al hecho de que admiten sistemas de Postnikov "agradables" y como tales se comportan bien con respecto a la localización, haciéndolos susceptibles a las herramientas de la teoría racional de homotopías (véase esta pregunta y respuestas para más detalles).

Answer 2

Hay Teorema de Gromov que casi da una caracterización de cuándo la serie central inferior tiene terminación finita en el grupo trivial cuando $G$ está finitamente generada (lo que da una respuesta parcial a la segunda parte de la pregunta 1).

Stallings tiene una bonita aplicación de las series centrales inferiores para estudiar mapas entre grupos. Esto se ha aplicado para obtener límites inferiores en el crecimiento de $p$ -nilpotentes bajo varias condiciones por Shalen-Wagreich y Lackenby . En concreto, Shalen-Wagreich utilizan la menor $p$ -central para demostrar que un 3manifold $M$ con $rank(H_1(M;Z_p))\geq 3$ tiene grupo fundamental infinito (aunque ahora esto puede deducirse del teorema de geometrización geometrización).

Ejemplos en los que la parte inferior $p$ -se pueden calcular las series centrales proceden de pro- analítica $p$ grupos. Para obtener una muestra de resultados, se utilizó Boston y Ellenberg para demostrar la existencia de torres de 3-manifolds que son esferas de homología racional (utilizando ejemplos de Calegari-Dunfield ).

Adenda: La secuencia de Stallings con $N=G_1$ , $Q=G/G_1=H_1(G)$ da el valor exacto de secuencia $$ H_2(G)\to H_2(G/G_1)\to G_1/G_2 \to 0$$ desde $H_1(G)\to H_1(G/G_1)$ es un isomorfismo. Obsérvese que $G/G_2$ es un extensión central de $G/G_1$ par $G_1/G_2$ . Para saber cuál es la extensión extensión, se toma $H_2(G/G_1)/im\{H_2(G)\to H_2(G/G_1)\}$ .

Creo que hay (algo así como) una interpretación geométrica de esto, dualizando. Consideremos $H^2(G/G_1;Q) \cong \wedge^2 H^1(G/G_1;Q)$ tomando productos de taza. Si considera el mapa $H^2(G/G_1;Q)\to H^2(G)$ entonces se ve que la imagen es $\cup^2 H^1(G;Q)$ . Dualizando, se ve que el rango de la parte libre de torsión de $G_1/G_2$ es igual a la dim. del núcleo del mapa $H^2(G/G_1;Q)\to H^2(G;Q)$ que es igual a $dim \wedge^2 H^1(G;Q)-dim \cup^2 H^1(G;Q)$ .

Answer 3

Un caso especial que puede resultarle informativo: Si $L$ es un enlace en $S^3$ entonces la teoría de Chen-Milnor te da una presentación del grupo de enlace $\pi=\pi_1(S^3-L)$ modulo algunos términos más profundos de la serie central inferior de $\pi$ y, por tanto, alguna información sobre algunos de los primeros factores centrales inferiores por los que pregunta. Es especialmente interesante que esta presentación se hace directamente en términos de invariantes combinatorios (número de enlace, invariantes de Milnor) del enlace, y por tanto da interpretaciones concretas a varios invariantes cohomológicos que surgen desde el punto de vista de la topología algebraica (producto de copa, productos de Massey, etc.).

También merece la pena mencionar el artilugio que se obtiene al pegar todos estos cocientes centrales inferiores, a saber, el álgebra de Lie graduada asociada. (Y se puede repetir para la serie p central inferior, y varias otras series relevantes también). Se sabe mucho sobre estas álgebras de Lie: por ejemplo, "The Lie Algebra Associated to the Lower Central Series of a Link Group and Murasugi's Conjecture" de John Labute (y el resto del artículo de Labute. En particular, algunos vínculos sorprendentes con la "topología aritmética" y los grupos de Galois de interés teórico numérico).

Answer 4

En cuanto a la pregunta 4, la respuesta se entiende bien para los grupos fundamentales de superficies, o más generalmente para los "espacios formales" $X$ . En resumen: renumere sus series de forma que $G_1=G$ . Entonces $V_i:=G_i/G_{i+1}$ es un $\mathbb Z$ -módulo para todos $i$ y la suma directa $L:=\bigoplus_{i\ge1}V_i$ es un álgebra de Lie graduada sobre $\mathbb Z$ . Por ejemplo, para grupos de superficie, admite como presentación la linealización natural de la presentación del grupo: $$L=\langle A_1,B_1,\dots,A_g,B_g\mid [A_1,B_1]+\dots+[A_g,B_g]=0\rangle.$$ El álgebra envolvente de $L$ es un álgebra cuadrática de Koszul, y su dual de Koszul $U(L)^!$ es isomorfa al álgebra de cohomología de $X$ . Los rangos de las secciones $V_i$ puede recuperarse a partir de los números de Betti de $X$ utilizando la dualidad de Koszul y la inversión de Möbius.

Más concretamente, si $b_i$ son los números de Betti de $X$ y $b(t)=\sum b_i t^i$ es su serie de Poincaré, y $c(t)=\sum c_i t^i$ es la serie de Poincaré de $U(L)$ entonces la dualidad de Koszul da $c(-t)b(t)=1$ . Entonces $c(t)=\prod_{i\ge1}(1-t^i)^{-\dim V_i}$ le permite calcular $\dim V_i$ .