El siguiente problema sólo está relacionado tangencialmente con mi trabajo actual, y lo hago aplicaciones. Sin embargo, tengo curiosidad por conocer la solución -- o incluso ver la falta de ella, lo que indica que el problema puede merecer una una investigación seria.
Sea $\mathcal F$ denotan la clase de todas las funciones $f\colon[0,1]\to{\mathbb R}$ que satisface la desigualdad $$ f(tx+(1-t)y) \le tf(x) + (1-t)f(y) + |y-x|, \ x,y,t \in [0,1] $$ y la condición límite $\max\{f(0),f(1)\}\le 0$ .
Sustituyendo $x=0$ y $y=1$ vemos que todas las funciones de $\mathcal F$ son uniformemente limitadas desde arriba por $1$ y dejamos que $$ F(x) := \sup \{ f(x)\colon f\in {\mathcal F} \}. $$ Una observación interesante es que la función $F$ pertenece a $\mathcal F$ por lo que es la función máxima puntual de esta clase. ¿Qué explícitamente?
No es difícil ver que $F$ es continua en $[0,1]$ simétrico alrededor de $x=1/2$ positivo en $(0,1)$ y desapareciendo en $x=0$ y $x=1$ . Sustituyendo $t=x$ y $y=0$ y renombrando las variables en el resultante se obtiene $F(x)\le 2\sqrt x$ de ahí, en efecto, $$ F(x) \le \min\{2\sqrt x,1,2\sqrt{1-x} \}. $$ Por otra parte, las funciones $\min\{4x,1,4(1-x)\}$ y $ex\ln(1/x)$ pertenecen a $\mathcal F$ lo que implica $$ F(x) \ge \min\{4x,1,4(1-x)\} $$ y $$ F(x) \ge \max \{ ex\ln(1/x), e(1-x)\ln(1/(1-x))\}, $$ para todos $x\in[0,1]$ .
Las gráficas de las funciones delimitadoras en los lados derechos:
(Así, el gráfico de $F$ reside en algún lugar entre el más alto de los verdes y la curva roja).
Comparando las estimaciones, vemos que $F(x)=1$ para $x\in[1/4,3/4]$ y $0<F(x)<1$ para $x\in(0,1/4)$ y también para $x\in(3/4,1)$ . Tengo más estimaciones y observaciones de este tipo. Por ejemplo, puedo demostrar que si $x=e^{-k}$ , entonces $F(x)=ex\ln(1/x)$ Eso es, $F(e^{-k})=ke^{1-k}$ para $k\ge 2$ . Otro hecho curioso es que para cualquier función $f\in{\mathcal F}$ (y en particular para la función $f=F$ ) se tiene $$ f(tx+(1-t)y) \le tf(x) + (1-t)f(y) + F(t)|y-x|, \ x,y,t \in [0,1]. $$ Sin embargo, con todos estos resultados parciales y límites bastante ajustados, hasta ahora estaba incapaz de encontrar $F(x)$ en general. ¿Alguna idea?
