¿Cuáles serían algunas de las principales consecuencias de la incoherencia de la ZFC?

Question

Actualización (21 de abril de 2019). He eliminado la referencia / el desencadenante inicial de mi pregunta (véanse los motivos en el hilo de comentarios más abajo). Mantengo, por supuesto, la pregunta en sí, tanto en el título como en el post de abajo.

Las preguntas clave de este post son las siguientes:

1. ¿Hasta qué punto sería realmente "desastrosa" la incoherencia de la ZFC?

2. Una pregunta un poco más refinada es: cuáles serían las principales consecuencias de los distintos tipos de supuestas incoherencias en ZFC ?

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Material antiguo (la parte "ya no es pertinente" de la pregunta).

Estaba navegando alegremente por arXiv, cuando me sorprendió el siguiente artículo:

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Inconsistencia de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección y sus efectos sobre la complejidad computacional par M. Kim Mar. 2012.

Resumen. Este trabajo expone una contradicción en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección (ZFC). Aunque los teoremas de incompletitud de Godel establecen que un sistema consistente no puede demostrar su consistencia, no eliminan las pruebas que utilizan un sistema más fuerte o métodos que están fuera del alcance del sistema. El artículo muestra que las cardinalidades de los conjuntos infinitos son incontrolables y contradictorias. A continuación, el artículo afirma que la aritmética de Peano, o aritmética de primer orden, es incoherente si todos los axiomas y esquemas axiomáticos asumidos en el sistema ZFC se consideran verdaderos, lo que demuestra que ZFC es incoherente. A continuación, el artículo expone algunas consecuencias que entran en el ámbito de la teoría de la complejidad computacional.

Ahora bien, parece una afirmación muy importante, y carezco de los antecedentes necesarios para poder juzgar si la afirmación es cierta, o si hay algún defecto sutil o incluso evidente en los argumentos del documento. Pero hablar de este documento en sí es no el objeto de mi pregunta.

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Si considera que mis preguntas pueden no admitir respuestas "claramente correctas", estaré encantado de convertir este post en CW.

Answer 1

Confío en que ZFC sea coherente, pero cabe imaginar una incoherencia. Como dijo François, probablemente se manejaría bastante bien. Yo dividiría las posibilidades en cuatro casos:

1. Un tecnicismo, como la separación frente a la comprensión en ZFC. Sería importante corregirlo, pero tendría poca repercusión en los teoremas que demuestran los matemáticos. (Por ejemplo, el sistema de Frege era inconsistente, pero su error no se propagó).

2. Un tema que requiere serias aclaraciones, como los infinitesimales en el 1600. La intuición era correcta, pero hubo que trabajar duro para convertirla en teoremas reales con demostraciones rigurosas.

3. Un tema que fundamentalmente no se puede aclarar, en el que alguna parte de las matemáticas resulta ser defectuosa. Por ejemplo, imaginemos que los cardinales más allá de $\aleph_0$ eran intrínsecamente autocontradictorias, y ninguna aclaración podría salvarlas. Esto requeriría enormes modificaciones en la teoría de conjuntos.

4. Podría resultar que no tenemos ni idea de lo que significan realmente las matemáticas. Por ejemplo, si la aritmética de Peano fuera incoherente, se cuestionaría todo el enfoque axiomático de las matemáticas. Equivaldría a decir que los números naturales, tal y como los entendemos, no existen. (Algunas partes del enfoque axiomático aún podrían sobrevivir, pero no creo que fuera prudente confiar en nada si ni siquiera pudiéramos acertar con la consistencia de la PA).

Mi opinión es que 1 es muy improbable, 2 sería una de las mayores sorpresas en la historia de las matemáticas, 3 es difícil de imaginar, y 4 es tan extremo que si leyera una prueba de la inconsistencia de PA, sería más probable que decidiera que me había vuelto loco que que PA era realmente inconsistente.

Answer 2

(Esto empezó como un comentario a la respuesta de Henry Cohn, con la que estoy de acuerdo en su mayor parte, pero me he pasado del límite de caracteres). Creo que los detalles del ejemplo del caso 4 se solapan en realidad con el 1; una incoherencia técnica fácilmente subsanable en los axiomas de Peano podría no cuestionar todo el enfoque axiomático de las matemáticas, sino quizá sólo algunos detalles del mismo, como el uso de la lógica de primer orden en lugar de la de orden superior. Para invertir su mención de Frege, en el siglo XIX, no habría sido que sorprendente si la aritmética de orden superior de Frege hubiera sido el único enfoque viable y la axiomatización de primer orden hubiera fracasado. (Boolos presentó algunos buenos argumentos en este contexto sobre el valor de la lógica de orden superior). De hecho, la existencia de modelos no estándar de los axiomas de Peano demuestra que éstos no capturan nuestra intuición sobre los números enteros, por lo que podría no ser el fin de las matemáticas formales si esos axiomas particulares fallaran también en la otra dirección.

    Permítanme señalar que sólo estoy abordando la reacción hipotética a la inconsistencia de la AP, no la plausibilidad real de la misma, y ciertamente no las consecuencias extendidas dadas, por ejemplo, las pruebas de consistencia disponibles. Véase, por ejemplo, la réplica de Harvey Friedman a la conferencia de Angus Macintyre en Viena http://www.cs.nyu.edu/pipermail/fom/2011-June/015572.html . Angus fue mi supervisor de licenciatura, pero no estoy necesariamente en desacuerdo con los puntos de Friedman. (Aunque no estoy de acuerdo con que escriba el apellido de Angus en mayúsculas, un error frecuente :-)

    Mi respuesta a la pregunta original sería análoga. No veo ninguna razón para creer en la inconsistencia de ZFC, pero los detalles de la axiomatización no captan exactamente la intuición subyacente: La concepción iterativa del conjunto sólo justifica el reemplazo de fórmulas que cuantifican sobre niveles ya construidos de la jerarquía acumulativa. Randall Holmes ha argumentado que la teoría justificada por la concepción iterativa es en realidad la Teoría de Conjuntos de Zermelo con sustitución Σ2. (http: //math.boisestate.edu/~holmes/holmes/sigma1slides.ps. Según el profesor Holmes, "contiene un error, que Kanamori me señaló y que sé cómo solucionar"). Así que la reacción a una incoherencia en ZFC podría ser más parecida a los ajustes de la paradoja de Russell a la aritmética de Frege que a su teoría de conjuntos: el desarrollo de la aritmética de Frege se mantiene notablemente bien, con unos pocos ajustes en su formalismo: véase, por ejemplo, John Burgess's Fijar a Frege y Richard G. Heck Lectura de los Grundgesetze de Frege.

Answer 3

Observa que puedes eliminar el axioma de sustitución o sustituirlo por un principio de reflexión más débil. Sin este axioma usted tiene menos fuerza de consistencia - todavía podría ser consistente incluso si ZFC no es consistente. No perderíamos tanto. Por supuesto, muchos resultados de la teoría de conjuntos carecerían de sentido (en relación con varios axiomas, cardinales grandes, etc.), pero en la mayoría (no en todas, incluso excluyendo la teoría de conjuntos) de las situaciones matemáticas este axioma no es tan importante.

Answer 4

Citando mal a Scott Aaronson,[1] habría que retirar todos los artículos publicados en Annals of Mathematics ("los teoremas siguen siendo ciertos, pero también lo son sus negaciones").

[1] http://www.scottaaronson.com/papers/pnp.pdf p. 3