¿Cómo puedo evitar un error de redondeo significativo al evaluar $(\ln(x) - \sin(\pi x))(1-x)^{-1}$ ?

Question

¿Cómo puedo evitar un error de redondeo significativo al evaluar $$\frac{\ln(x) - \sin(\pi x) }{1-x}$$

Esta función provoca un error como $x\to 1$ . ¿Cómo se puede evitar? He intentado utilizar la expansión de Taylor, pero no consigo una forma cerrada agradable. Por favor ayuda

Answer 1

Podemos hacer los dos términos del numerador por separado.

$$\frac{\log(x)}{1-x} \approx -1+\frac 12(x-1)-\frac 13(x-1)^2+\frac 14(x-1)^3+\ldots$$ de la serie de Taylor habitual para $\log(1+x)$

$\sin(\pi x)$ llega a cero, anulando el cero del denominador. El límite del segundo término como $x \to 1$ es $\pi.\ \ $ Podemos utilizar simplemente la serie de Taylor, definiendo $y=1-x$ y expandiéndose por $y=0$ $$\frac {\sin(\pi x)}{1-x}=\frac{\sin(\pi(1-y))}y=\frac {\sin(\pi y)}y\approx \pi-\frac 16(\pi y)^2+\frac 1{120}(\pi y)^4+\ldots$$