Fuerza centrípeta relativista

Question

Se me ocurrió al azar que un acelerador circular de partículas tendría que ejercer mucha fuerza para mantener la curvatura de la trayectoria . Muchos aceleradores mueven partículas a velocidades totalmente relativistas, y quiero preguntar cómo afecta eso a las cosas.

¿Por qué importa esto? Bueno, si lo entiendo correctamente, una partícula en el LHC que se mueve en $0.999 c$ sería dramáticamente más difícil de seguir moviéndose en el círculo que una partícula que se mueve en $0.99 c$ . Leyendo Wikipedia, me encantó encontrar un problema completamente especificado en un solo párrafo.

http://en.wikipedia.org/wiki/Large_Hadron_Collider

El LHC se encuentra en un túnel 27 kilómetros (17 mi) de circunferencia, hasta 175 metros de profundidad bajo la frontera franco-suiza cerca de Ginebra, Suiza. Su sincrotrón está diseñado para colisionar haces de partículas opuestas de protones en hasta 7 teraelectronvoltios (7 TeV o 1,12 microjulios) por nucleón, o núcleos de plomo a una energía de 574 TeV (92,0 µJ) por núcleo (2,76 TeV por nucleón).

Puedo (o Google puede) calcula el caso de los protones para llegar a $0.999999991 c$ . Para calcular correctamente la fuerza que el LHC debe ejercer sobre él, ¿tengo que empezar desde $F=dp/dt$ o puedo arreglármelas con $v^2/r$ por la masa relativista? No estoy muy seguro de cómo hacer lo primero.

Pregunta: Digamos que tengo 2 protones, ambos se mueven tan rápido que van casi a la velocidad de la luz, pero uno tiene el doble de energía que el otro. Se mueven uno al lado del otro y entran en un campo eléctrico o magnético que hace que se aceleren perpendicularmente al vector de velocidad. ¿El radio de curvatura es mayormente el mismo para los dos, o es diferente por un factor importante (como 0,5x, 1x o 2x)?

Quiero leer algunos comentarios de personas que entienden bien esta física. Las partículas más allá de una cierta energía van todas casi exactamente la misma velocidad. ¿Sigue estando bien que diga que también tienen la misma "aceleración"? Resulta que tienen una inercia absurdamente enorme comparada con la misma partícula a una fracción más modesta de la velocidad de la luz. ¿Es esta la perspectiva correcta?

Answer 1

Debido a que usamos campos magnéticos para doblar el camino de las partículas en los aceleradores y el E&M es invariante de Lorentz por construcción, sólo aplicamos el radio de curvatura en una ecuación de campo magnético en el marco del laboratorio y nunca nos molestamos en calcular la fuerza. El radio de curvatura es

$$R = \frac {p}{qB} .$$

Tenga en cuenta que para un anillo como el LHC, la flexión no es realmente uniforme, sino sólo en los imanes de flexión, pero no en los cuadrúpedos o klystrons (si los hay), por lo que es localmente más apretado de lo que obtendría por aplicar ingenuamente la ecuación anterior con un radio de 27 millas.

Si insistes en encontrar la fuerza, notarás que en el curso de un ciclo el impulso cambia por $2 \pi |p|$ y se necesita $(27 \text { km})/c$ segundos para llegar allí, así que la fuerza media es

$$F = \frac {p c}{r} = \frac {2 \pi p c}{27 \, \mathrm {Km}}.$$

De nuevo, en cualquier imán dado será más grande por un factor de menos de 10, porque los imanes no cubren toda la línea de rayo.

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Aparte: Si pasas mucho tiempo haciendo física de partículas llegarás a amar la mecánica ultra relativista: es incluso más fácil que la mecánica no relativista.

Answer 2

No soy alguien que entienda bien la física, así que no estoy 100% seguro de esto. Los comentarios sobre esto serán muy apreciados. (Actualización: Este enfoque parece ser correcto)

F=dp/dt funciona tan bien como $v^2/r$ . Mientras quieras girarlo a una velocidad constante, tu factor lorentz será constante, y como $p= \gamma m_0v$ tu fuerza se convertirá $m_0 \gamma d \vec {v}/dt$ . Entonces puedes resolverlo normalmente usando vectores (exactamente la misma prueba que la clásica para el CPF). El resultado final será $\gamma m_0 v^2/r$ .

Cuando se trate de aceleraciones debidas a las fuerzas, utilice de nuevo $F=d( \gamma m_0 v)/dt$ . Si $m_0$ es constante, entonces tenemos $F= \frac {m_0a}{(1- \frac {v^2}{c^2})^ \frac {3}{2}}= \gamma ^3m_0v$ . Ya que todavía tenemos $\gamma$ las aceleraciones serán muy diferentes.

Así que si un protón tiene el doble de energía que otro, el protón tiene el doble de $\gamma$ (de $E= \gamma m_0c^2$ ). Así que la aceleración será ocho veces menor.