Cómo demostrarlo $e^{-\gamma}=\prod_{n=1}^\infty\left(1+\frac1n\right)e^{-1/n}$

Question

Supongamos que definimos la función Gamma $$\frac1{\Gamma(z)}=ze^{\gamma z}\prod_{n=1}^\infty\left(1+\frac zn\right)e^{-z/n}$$ donde $\gamma$ es sólo una constante. Quiero demostrar que $\Gamma(1)=1$ así que necesito probar que $$e^{-\gamma}=\prod_{n=1}^\infty\left(1+\frac1n\right)e^{-1/n}\tag{*}$$

A partir de la definición, tomando el logaritmo y luego diferenciando, llegamos a $$\frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}=-\frac1z-\gamma-\sum_{n=1}^\infty\left(\frac1{z+n}-\frac1n\right)\tag{1}$$ lo que implica que $$\frac{\Gamma'(z+1)}{\Gamma(z+1)}-\frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}-\frac1z=0\tag{2}$$ tomando la integral llegamos a la siguiente identidad $$\Gamma(z+1)=Cz\Gamma(z)\tag{3}$$ donde $C$ es constante y puesto que $\lim_{z\to0}z\Gamma(z)=1$ Así que $$C=\Gamma(1)\tag{4}$$ Intenté desde identidades $(1-4)$ llegar a $(*)$ pero falló, ¿alguien puede ayudarme, por favor?

Answer 1

Para demostrar que $C=1$ tienes que demostrarlo: $$ \gamma = \sum_{n\geq 1}\left(\frac{1}{n}-\log\left(1+\frac{1}{n}\right)\right) \tag{A}$$ pero esa es exactamente la definición habitual del costante de Euler-Mascheroni, ya que: $$ \sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n}-\log\left(1+\frac{1}{n}\right)\right) = H_N-\log(N+1).\tag{B}$$