Pregunta sobre la cuadratura de un unitario aleatorio de Haar

Question

Considere una $n \times n$ unitario $U$ extraído de la medida de Haar. Intento encontrar la distribución para $U^{2}$ . ¿Es cierto que $U^{2}$ ¿es también Haar aleatorio?

Obsérvese que para cualquier unitario fijo $V$ , $VU$ y $UV$ son ambos unitarios aleatorios de Haar, por la invariancia traslacional de la medida de Haar. Pero nuestro caso es ligeramente distinto, ya que la matriz que multiplicamos $U$ también "depende" de $U$ .

Answer 1

La distribución de probabilidad de $U^p$ para $U$ uniformemente distribuidos con la medida de Haar en $\text{U}(n)$ ha sido calculado por Eric Rains en Imágenes de distribuciones de valores propios bajo mapas de potencia .

Para $p=2$ y $n$ incluso la distribución de valores propios de $U^2$ se obtiene tomando la unión de los valores propios de dos independiente matrices $U_1$ y $U_2$ distribuidos uniformemente en $\text{U}(n/2)$ . Para $n$ impar las dos matrices independientes se toman de $\text{U}((n+1)/2)$ y $\text{U}((n-1)/2)$ .

Así que $U^2$ sólo es Haar aleatorio en el caso trivial $n=1$ pero no para $n>1$ . Para $n=2$ en particular, los dos valores propios de $U^2$ son independientes, a diferencia de los dos valores propios de $U$ .

_{Para ver cómo cuadrar el <span class="math-container">$2\times 2$</span> unitario <span class="math-container">$U$</span> elimina las correlaciones, utiliza que la distribución de probabilidad conjunta de los dos valores propios <span class="math-container">$\lambda_1$</span> y <span class="math-container">$\lambda_2$</span> de <span class="math-container">$U$</span> es <span class="math-container">$$P(\lambda_1,\lambda_2)\propto|\lambda_1-\lambda_2|^2=2-2\,{\rm Re}\,\lambda_1\bar{\lambda}_2.$$</span> Cuadrando <span class="math-container">$U$</span> identifica <span class="math-container">$\pm\lambda_i$</span> por lo que las contribuciones del correlacionador <span class="math-container">${\rm Re}\,\lambda_1\bar{\lambda}_2$</span> cancelar y <span class="math-container">$P(\lambda_1^2,\lambda_2^2)$</span> es independiente de <span class="math-container">$\lambda_i$</span> .}