Error típico e intervalos de estimación

Question

He estado enseñándome algo de estadística y al hacer este problema me he tropezado con la última parte:

No he tenido problemas para llegar a $\mu\approx x=220.1$ y $\sigma\approx y= \frac{1}{2\sqrt{5}}$ que coincide con el documento de solución. Entonces razoné que si quería un intervalo de 2 errores estándar alrededor de la media estimada, eso sería simplemente $x\pm2\cdot\frac{y}{\sqrt{5}}=220.1\pm\frac{1}{5}$ pero al parecer es incorrecto.

El cálculo correcto de 2 errores estándar alrededor de la media se muestra como $220.1\pm2\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{5}}=220.1\pm\frac{2}{5}$ . ¿Puede ayudarme a averiguar por qué se han multiplicado por un factor de $\frac{2}{\sqrt{5}}$ ¿en su lugar?

(Una imagen de las soluciones que he estado utilizando son aquí y aquí )

Answer 1

$\hat \mu = \frac45T+\frac15(T_1+T_2+T_3+T_4)$ tiene expectativa $\mu$ y varianza $\frac45 \sigma^2$

$\hat \sigma^2 =(\frac1{\sqrt{5}}T-\frac1{\sqrt{5}}(T_1+T_2+T_3+T_4))^2$ tiene expectativa $\sigma^2$ Así que $\frac45 \hat \sigma^2$ tiene expectativa $\frac45 \sigma^2$

Así que parece que un intervalo de confianza razonable es $\hat \mu \pm k\sqrt{\frac45\hat \sigma^2}$ que aquí es $220.1 \pm k\sqrt{\frac45 \times (-\frac1{\sqrt{5}} 0.5)^2}= 220.1 \pm 0.2 k$ y para $k=2$ es $220.1 \pm 0.4$ es decir $[219.7, 220.5]$