Una función no constante satisface $f(x)f(\frac{1}{x})=1$

Question

Sea $f:A\rightarrow \mathbb R,~A \subseteq \mathbb R$ sea una función no constante satisface $f(x)f\big(\frac{1}{x}\big)=1$ entonces podemos decir que $f(x)=\pm x^n$ para algunos $n\in \mathbb N$ ?

Answer 1

No. Toma $A = \Bbb R \setminus \{0\}$ y $f(x) = \exp \left({x - \frac 1 x}\right)$ . Entonces $$f(x) f\left(\frac 1 x \right) = \exp \left(x - \frac 1 x \right) \exp \left(\frac 1 x - x \right) = 1$$

Answer 2

No. Puede tomar cualquier función $g:(0,1]\rightarrow\mathbb R\setminus\{0\}$ tal que $g(1)=\pm 1$ y definir $$ f(x) = \left\{\begin{array}{ll} g(x) & \text{for }x\in(0,1] \\ \frac{1}{g(1/x)} & \text{for } x\in(1,\infty)\end{array}\right.$$

Answer 3

Para dar una respuesta general (pero no la más general), lo primero que hay que señalar es que el grupo multiplicativo $(\Bbb R_+,\cdot)$ es isomorfo al grupo aditivo $(\Bbb R, +)$ mediante el isomorfismo logarítmico $\ln:\Bbb R\to\Bbb R$ . Observado esto, consideremos cualquier función impar de valor real $g(x):\Bbb R\setminus\{0\}\to\Bbb R$ y : si definimos $$ f(x)= \operatorname{sign}(x) e^{\displaystyle{g\big(\ln|x|\big)}}\quad x\in\Bbb R\setminus\{0\}\label{1}\tag{1} $$ donde $\operatorname{sign}(x)$ es el función de signo entonces $f(x)f\big(\frac{1}{x}\big)=1$ para todos $x\in\Bbb R\setminus\{0\}$ . Por lo tanto, no sólo las funciones $f_n(x)=\pm x^n$ , $n\in\Bbb N$ satisfacen la ecuación funcional dada, pero en general toda función de la forma \eqref {1}.