Cada conjunto infinito dividirse en pares distintos subconjuntos de tamaño $n\in\mathbb{N}$?

Question

Deje $S$ ser un conjunto infinito y $n$ ser un número natural. ¿Existe partición de $S$, en el que cada subconjunto tiene el tamaño de $n$?

1. Esto es bastante fácil de hacer para los contables de conjuntos. Es cierto para innumerables conjuntos?

2. Si (1) es verdadera, puede probarse sin elección?

Answer 1

La respuesta es sí, bajo el axioma de elección, una partición es posible. Hay varias maneras de ver esto. Por ejemplo, la elección nos da que cualquier conjunto es en bijection con una infinita ordinal. Pero, para cualquier infinita ordinal $\alpha$, hay un bijection entre el$\alpha$$\alpha\times \{1,\dots,n\}$. El bijection es, de hecho, canónica, en el sentido de que no es un "uniforme" procedimiento que se aplica a cualquier infinita ordinal $\alpha$ produce un bijection. Si usted está algo familiarizado con los números ordinales, una prueba se puede encontrar en este blog de la mina.

Por supuesto, si $\alpha$ es en bijection con $X$, $\alpha\times \{1,\dots,n\}$ es en bijection con $X\times \{1,\dots,n\}$, por lo que el último es en bijection con $X$. La partición necesaria es entonces la imagen bajo la bijection de los conjuntos de $A_a=\{(a,i)\mid 1\le i\le n\}$$a\in X$.

(Para mencionar pero el otro un argumento estándar, mediante elección, tenemos que $X$ $X\times X$ están en bijection así que, invocando el Bernstein-Schroeder teorema, llegamos a la conclusión de que $X$ $X\times\{1,\dots,n\}$ están en bijection así.)

Por otro lado, la respuesta es no, sin el axioma de elección es, en general, no es posible producir una partición. Esto es abordado en profundidad en este MO respuesta, con detalles en las referencias vinculada allí.

Answer 2

Para conjuntos infinitos $S$ y finito de conjuntos de $A$,$|S\times A|=|S|$. Si dejamos $A=\{1,\ldots,n\}$, a continuación las imágenes de los conjuntos de $\{s\}\times A$, $s\in S$, en virtud de la correspondiente bijection hacer una partición como se desee.

Answer 3

Hay un concepto llamado amorfo conjuntos, que se vuelve interesante cuando el axioma de elección se produce un error. Estos conjuntos son tales que no se puede dividirlos en dos distintos conjuntos infinitos.

Una propiedad de amorfo establece es que si tomamos una infinita partición de un conjunto amorfo, entonces todos, pero un número finito de partes tienen el mismo tamaño (y todos estos tamaños son finitos, por supuesto). Hay unbounded amorfo conjuntos, que se puede dividir en forma arbitraria, de gran tamaño, pero también hay delimitada amorfo conjuntos.

Tan limitado amorfo conjuntos de formar un contraejemplo a (1), que no puede ser dividido en grupos de tamaño $n$ de las grandes suficientemente $n$.

Pero esta propiedad de "divisibilidad" se puede encontrar en otros juegos, que no son amorfos. Aunque a menudo es más difícil de probar esta propiedad se mantiene. Por ejemplo, en la de Cohen primer modelo existe un conjunto infinito de números reales que no tienen un countably subconjunto infinito. Este juego no es amorfo porque amorfo conjuntos no puede ser linealmente ordenado. Y, sin embargo, se desprende de la construcción de un modelo que cada partición de la que en conjunto finito de partes es casi totalmente únicos.

Answer 4

Para 1. Tomar cualquier bijection $f$ entre el conjunto y $(0,1)$. Divida $(0,1)$ a $n$ intervalos. Los conjuntos de parametrizadas por $x$$\left(0,\frac{1}{n}\right)$$f^{-1}\left(\left\{x,x+\frac{1}{n},x+\frac{2}{n},x+\frac{3}{n},...,x+\frac{n-1}{n}\right\}\right)$.

Answer 5

Un geométricas respuesta, para cardinalidad $c$. Para $x, y \in S^1$ (el círculo unitario), vamos a $x \sim y$ fib $x$ $y$ son vértices de la misma regular $n$-gon centrada en el origen. Ahora el título de esta pregunta habla de conjuntos infinitos en general, que es una cuestión diferente. El enfoque por Hagen von Eitzen es probablemente el mejor que vas a encontrar en el caso general.