Preguntas cuantitativas sobre el tamaño de una red épsilon finita

Question

Sea $X$ sea un espacio métrico, y sea $U \subset X$ sea un conjunto cualquiera. Un conjunto finito $N = N(\epsilon) \subset U$ se denomina finito $\epsilon$ -red de $U$ si cada punto de $U$ es como máximo una distancia de $\epsilon$ desde algún punto de $N$ .

Es fácil demostrar que si $U$ es compacta, entonces para cualquier $\epsilon>0$ a finite $\epsilon$ -la red existe. Estoy interesado en el comportamiento de la función $|N(\epsilon)|$ como $\epsilon$ llega a cero. Si hay respuestas en esta generalidad, estupendo. Me interesa sobre todo el caso particular en el que $U$ también es convexa, y donde $X$ es también un espacio vectorial topológico de dimensión infinita, pero cualquier respuesta será bienvenida.

Edición: También estoy interesado en debilitar la noción de $\epsilon$ -net, por lo que en lugar de requerir cada punto de $U$ para estar cerca de un punto en $N$ podríamos exigir que cada punto de $U$ para estar cerca de un punto del casco convexo de $N$ . La motivación para ello proviene de observar objetos que son "convexamente compactos"; esto significa (en un espacio métrico) que dada cualquier secuencia $(f_n)$ en $U$ existe $g_j \in \text{conv}(f_j,f_{j+1},\ldots)$ tal que $g_j \rightarrow g$ en $U$ .

Answer 1

Es un tema enorme. Los tamaños mínimos de $\epsilon$ -redes de compactos en espacios lineales fueron estudiadas por Kolmogorov y su escuela. Demostraron que, en general, no existen buenos límites para esta cantidad en el caso de los compactos convexos en espacios de Banach de dimensión infinita. Sin embargo se pueden obtener estimaciones razonables en algunos casos específicos interesantes.

Sea $|N_\epsilon(U)|$ sea el tamaño mínimo de un $\epsilon$ -red para el conjunto $U$ . El valor $\mathcal N_\epsilon(U)=\log_2 |N_\epsilon(U)|$ se denomina $\epsilon$ -entropía del conjunto $U$ .

Los siguientes resultados se deben a Kolmogorov y Tikhomirov.

Teorema 1. Sea $\phi(\epsilon)$ va a $+\infty$ (y aumenta monotónicamente) a medida que $\epsilon\to 0$ . Supongamos que $X$ es un espacio de Banach de dimensión infinita. Entonces existe un $K\subset X$ tal que $$ \mathcal N_\epsilon(K)\succeq\phi(\epsilon).$$

Teorema 2. Supongamos que $X$ es un espacio de Banach de dimensión infinita. Sea $K\subset X$ sea un conjunto convexo que no esté contenido en ningún subespacio de dimensión finita de $X$ . Entonces $$ \mathcal N_\epsilon(K)\succeq\left(\frac{1}{\epsilon}\right)^n$$ para cualquier $n\in \mathbb N$ .

Answer 2

La cuestión de dimensión de la caja o Dimensión Bouligand o Dimensión de Minkowski está relacionado con esto. Escriba a $M(\epsilon)$ para el tamaño mínimo de un $\epsilon$ -red. Entonces $$ D = \limsup_{\epsilon \to 0}\frac{\log M(\epsilon)}{\log(1/\epsilon)} $$ es el dimensión de la caja superior de $U$ (o dimensión de Bouligand o dimensión de Minkowski, etc.). Así, para cualquier $S\gt D$ tenemos $M(\epsilon) \lt (1/\epsilon)^S$ para todos los pequeños $\epsilon$ para cualquier $S\lt D$ tenemos $M(\epsilon) \gt (1/\epsilon)^S$ para pequeños frecuentes $\epsilon$ .

Utilice liminf para dimensión de la caja inferior