Dos preguntas sobre conjuntos medibles.

Question

Estoy aprendiendo sobre teoría de medidas, concretamente sobre conjuntos medibles, y necesito ayuda con las dos preguntas siguientes:

$(1)$ Para $n \in \mathbb{N}$ , dejemos que $E_n = \{x \in [0, 2\pi] : \sin x < {1 \over n}\}$ . Visite $m(\cap_n E_n)$ y $\lim_{n \to \infty} m(E_n)$ ;

$(2)$ Hallar la medida del conjunto $E = (0, 1] \setminus\{{1 \over n} : n \in \mathbb{N}\}$ ;

Nota: $m$ denota la medida de Lebesgue.

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Ya que estoy teniendo algunas dificultades para $(1)$ Voy a compartir mis pensamientos para $(2)$ .

$(2)$ Sabemos que todos los intervalos son medibles y que la medida de un intervalo es su longitud, por lo que $(0, 1]$ es medible con $m((0, 1]) = 1$ . Además, si eliminamos la secuencia $a_n = \frac{1}{n}$ del intervalo $(0, 1]$ mi suposición es que su longitud no cambiará ya que estamos eliminando un número contable de puntos disjuntos de $(0,1]$ . Así que, en fin,

$$m(E) = m\big((0, 1] \setminus\{{1 \over n} : n \in \mathbb{N}\}\big) = 1.$$

¿Es correcto mi trabajo para $(2)$ ? Siento la falta de esfuerzo por $(1)$ intenté encontrar una expresión para $E_n$ sin ningún éxito.

Answer 1

Aquí están los pasos, y voy a dejar todos los detalles para usted:

Para (1): Obsérvese que $\bigcap_n E_n=\left\{x\in[0,2\pi]:\sin x\leq 0\right\}$ . Puedes escribir este conjunto explícitamente.

A continuación, recuerde el siguiente hecho (o intente demostrarlo, si no lo conoce de momento):

Si $(X,\mu)$ es cualquier espacio de medidas y $E_n$ son conjuntos medibles con $E_1\supseteq E_2\supseteq E_3\supseteq\cdots$ y $\mu(E_1)<\infty$ entonces $\mu(\bigcap_n E_n)=\lim_n \mu(E_n)$ .

Utilízalo para la segunda parte de (1).

En (2) tiene razón. Más concretamente, demuestre que si $A$ es cualquier subconjunto contable de $\mathbb{R}$ entonces $m(A)=0$ (Sugerencia: primero mostrar esto para singletons, es decir, $m(\{x\})=0$ para cada $x\in\mathbb{R}$ y, a continuación, reescribir $A=\bigcup_{x\in A}\{x\}$ y utilizar $\sigma$ -aditividad).