Matriz de rotación

Question

Estoy encontrando diferentes resultados para la matriz de rotación 3D en el plano XY de diferentes fuentes y esperaba que alguien me ayudara a aclarar. En mi libro "aplicaciones del cálculo vectorial", la matriz para una rotación por $a$ en el sentido contrario a las agujas del reloj viene dado por $$ \left( \begin{array}{cc} \cos(a) & \sin(a) & 0 \\ -\sin(a) & \cos(a) & 0 \\ 0& 0 & 1 \end{array} \right),$$

mientras que en wikipedia, mis otros apuntes de álgebra y geometría y otras fuentes estoy encontrando el resultado para la rotación en sentido contrario a las agujas del reloj por $a$ ser $$ \left( \begin{array}{cc} \cos(a) & -\sin(a) & 0 \\ \sin(a) & \cos(a) & 0 \\ 0& 0 & 1 \end{array} \right).$$

Yo habría asumido que sólo había un error en mis notas de vector calc pero ambos están utilizando un diagrama como el vinculado a justificar la matriz, pero cuando miro el diagrama me parece que debería ser la primera matriz para mí. http://en.wikipedia.org/wiki/File:Counterclockwise_rotation.png

¿Cuál debería ser?

Answer 1

Aquí tienes una forma rápida de comprobarlo.

Tenga en cuenta que las columnas de cualquier $3\times 3$ matriz son las imágenes de $(1\ 0\ 0)^T, (0\ 1\ 0)^T$ y $(0\ 0\ 1)^T$ .

Así, podemos ver que cuando (por ejemplo) $\theta = \pi/2$ la imagen de $(1, 0, 0)^T$ bajo la primera matriz es

$$\begin{bmatrix}\cos(\pi/2)\\ -\sin(\pi/2)\\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\ -1\\ 0\end{bmatrix}.$$

Entonces, ¿qué rotación -en sentido horario o antihorario- de un cuarto de vuelta envía el punto $(1, 0, 0)$ a $(0, -1, 0)$ ?

Answer 2

Giro de un ángulo en sentido contrario a las agujas del reloj $\alpha$ de $(x,y)$ corresponde a la multiplicación $$ (x+iy)(\cos\alpha+i\sin\alpha)= (x\cos\alpha-y\sin\alpha)+i(x\sin\alpha+y\cos\alpha) $$ por lo que la matriz correcta es $$ \begin{bmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha & 0 \\ \sin\alpha & \cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$ porque $$ \begin{bmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x\cos\alpha-y\sin\alpha \\ x\sin\alpha+y\cos\alpha \end{bmatrix} $$

Desde $$ \begin{bmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha & 0 \\ -\sin\alpha & \cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha & 0 \\ \sin\alpha & \cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}^{-1} $$ la primera matriz que enumera es la rotación por $-\alpha$ en el sentido contrario a las agujas del reloj, es decir, por $\alpha$ en el sentido de las agujas del reloj.