Límite de una función indicadora

Question

Según un instructor, lo siguiente es cierto: $$\lim_{n \to \infty} \mathbf{1_{\mathrm{[n,n+1]}}} = \mathbf{1_{[\varnothing]}} =0,$$ donde $\mathbf{1}$ es el función de indicador y el límite se toma del intervalo $[n,n+1]$ . Mi problema para entender este resultado, es que el límite de la longitud del intervalo (la distancia entre $n$ y $n+1$ ), considerando $\mathbb{R}$ sería $$\lim_{n \to \infty}|n-n+1|= \lim_{n \to \infty}1 = 1,$$ que no coincide con el primer resultado. Estoy buscando una explicación de por qué el primer resultado es cierto, y por qué mi intuición va muy mal aquí.

Answer 1

El límite puntual de sus funciones indicadoras es la función cero, ya que dada cualquier $\alpha \in \mathbb R$ hay algo de $N$ con $|\alpha|\notin [n,n+1]$ para todos $N \geq n$ .