Demostrar que el mapa transpuesto / dual está bien definido.

Question

La definición de mapa dual es la siguiente:

El mapa dual, o transposición lineal $f:V \rightarrow W $ viene dada por $f^t(g)(v) = g(f(v)) $ para $\forall g \in W^* , v \in V $ .

En mis apuntes de clase, tengo la siguiente prueba para demostrar que la definición está bien definida:

$f^t (g)(a_1v_1 + a_2v_2) = g(f(a_1v_1 + a_2v_2)) $

$ = ag(f(v_1)) + a_2 g(f(v_2))$

$= a_1 f^t(g)(v_1) + a_2f^t(g)(v_2)$ y así $f^t(g) \in V^* $ .

¿Cómo muestra este último paso $f^t(g) \in V^* $ ? ¿Cómo puedo hacerme a la idea de esta prueba?

Tengo entendido que $g(f(v))$ toma un elemento de $V$ , se aplica $f$ para obtener un elemento de $W$ y, a continuación, el funcional $g$ para producir un elemento del campo ( $K$ ), pasando en última instancia de $V \rightarrow K$ . Así pues, la propia función es un elemento de $V^*$ . ¿Cómo se demuestra esta intuición en la prueba anterior?

Answer 1

Quieres mostrar:

1. $f^t$ es un mapa de $W^*$ a $V^*$

2. $f^t$ es lineal

Para $g\in W^*$ desea definir un elemento de $V^*$ es decir, un mapa lineal $V\to K$ . La definición es bastante natural: $$ f^t(g)\colon v\mapsto g(f(v)) $$ Claramente, $f^t(g)$ como un mapa $V\to K$ es lineal, porque es $g\circ f$ .

No veo ninguna razón para hacer esa complicada demostración, que consiste simplemente en que la composición de mapas lineales es lineal.

Más interesante es demostrar que $f^t$ es lineal. Si $g_1,g_2\in W^*$ y $v\in V$ tenemos $$ f^t(a_1g_1+a_2g_2)\colon v\mapsto (a_1g_1+a_2g_2)(f(v)) $$ Ahora, $$ (a_1g_1+a_2g_2)(f(v))=a_1g_1(f(v))+a_2g_2(f(v)) $$ por definición. Por otra parte $$ a_1f^t(g_1)+a_2f^t(g_2)\colon v\mapsto a_1f^t(g_1)(v)+a_2f^t(g_2)= a_1g_1(f(v))+a_2g_2(f(v)) $$ que es lo que se deseaba.

Answer 2

Dada cualquier función $f \colon V \rightarrow W$ (no necesariamente lineal), se puede definir un mapa lineal $f^{t} \colon \mathrm{Map}(W,K) \rightarrow \mathrm{Map}(V,K)$ del espacio vectorial de todos los mapas (no necesariamente lineales) $W \rightarrow K$ al espacio vectorial de todos los mapas $V \rightarrow K$ . Dentro del espacio vectorial de todos los mapas $\mathrm{Map}(W,K)$ tienes el subespacio $\mathrm{Hom}_{K}(W,K) = W^{*}$ de todos lineal mapas $W \rightarrow K$ y lo mismo para $V$ . Así, siempre puede restringir $f^t$ y considerar $f^{t}|_{W^{*}} \colon W^{*} \rightarrow \mathrm{Map}(V,K)$ .

La cuestión es que si $f \colon V \rightarrow W$ es lineal y $g \in W^{*}$ entonces $f^{t}(g) = g \circ f$ no es un mapa cualquiera en $\mathrm{Map}(V,K)$ pero debe ser un lineal por lo que también se puede restringir el rango y obtener un mapa lineal bien definido $f^{t} \colon W^{*} \rightarrow V^{*}$ . Para comprobarlo, debe verificar que $g \circ f$ es lineal y esto es lo que hace la prueba.

De forma más general, se puede demostrar que la composición de dos mapas lineales es siempre lineal y por tanto $f^{t}(g) = g \circ f$ es lineal.