¿Cómo construir una tabla PDF conjunta?

Question

Hola Estoy tratando de entender cómo construir un PMF conjunta de dos variables aleatorias discretas. Dado esto Sea N una variable aleatoria entera positiva con PMF de la forma

$$P_N(n)=\frac{1}2*n*2^{-n},n=1,2,…. $$

Una vez determinado el valor numérico de N , extraemos una variable aleatoria K cuya PMF (condicional) es uniforme en el conjunto {1,2, ,2n}.

Creo que $$P[K=k|N=n]= \frac{1}{2n}$$ . Y basándose en la definición de distribución condicional, $$P[K=k N=n]=\frac{1}{2n}*\frac{1}2*n*2^{-n} =\frac{1}{4*2^n}$$

Sin embargo, me cuesta construir la tabla PMF para demostrar que la probabilidad suma 1. Cualquier orientación es útil por favor?

Answer 1

\begin{align*} P(K = k | N = n) = \begin{cases} \frac{1}{2n} & k \in \{1, 2, ..., 2n \}\\ 0 & \text{ otherwise } \end{cases} \end{align*}

Por lo tanto, \begin{align*} P(K = k, N = n) &= P(N = n) P(K = k | N = n)\\ \\ &= \begin{cases} \frac{1}{4 * 2^n} & n \in \{1,2, ... \}, k \in \{1,2, ..., 2n \}\\ 0 & \text{ otherwise } \end{cases} \end{align*}

Esta es la tabla PMF.

La tabla tiene un número infinito de entradas, por lo que sólo se pueden extraer unas pocas.

Compruebe que \begin{align*} \sum_{n = 1}^\infty \sum_{k = 1}^{2n} \frac{1}{4 * 2^n} = 1 \end{align*}

Algunas aclaraciones en respuesta a los comentarios:

El PMF conjunto $P_{N, K}(n, k)$ es igual a uno cuando se suman todos los valores posibles de $n$ y $k$

mientras que la PMF condicional $P_{K|N}(k | n)$ es igual a uno cuando se suman todos los valores posibles de $k$ dado $n$ es decir $$\sum_{k = 1}^{2n} P_{K|N}(k | n) = 1$$