Norma de un operador de núcleo

Question

Así que estuve practicando algunos problemas y consideré el espacio $X = C[a,b]$ con el $L_{1}$ -normales. Considero el operador

$$Tf(x) = \int_a^b k(x,y)f(y)\,dy$$ donde $k(x,y)$ es continua en sus dos variables.

Entonces, encuentro que este operador está acotado: $$\|T\| \le \operatorname{max}_{a\le x \le b} \int_a^b |k(x,y)|\,dy$$

Desde $k$ es continua en un dominio compacto, alcanza su máximo en algún $x_{0}$ es decir, hay algún $x_{0}$ tal que $$\operatorname{max}_{a\le x \le b} \int_a^b |k(x,y)|\,dy = \int_a^b |k(x_{0},y)|\,dy$$ .

Por analogía con el caso de la matriz de dimensión finita, donde la prueba para la norma 1 implica sólo el vector en esa dirección, quiero aproximar la función delta con una función continua, digamos $f_{n} = \frac{n}{\pi(1+n^2(x-x_{0})^2)}$ . Sin embargo, aquí es donde me confundo. ¿Cómo puedo estimar esto ya que quiero obtener $$\|T\| \ge \operatorname{max}_{a\le x \le b} \int_a^b |k(x,y)|\,dy$$ . ¿O es que estoy haciendo esto de la manera totalmente equivocada?

Answer 1

Lo estás haciendo de la manera correcta, pero hay opciones más fáciles de $f_n$ .

Sea $\phi(t) = \max(1-|t|,0)$ y $\phi_n(t) = n \phi(n t)$ . Tenga en cuenta que $\phi_n \ge 0$ , $\int \phi_n = 1$ y $\operatorname{supp} \phi_n = [-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}]$ .

Sea $\overline{K} = \sup_t \int |k(s,t)| ds$ , $\epsilon>0$ y supongamos $t_0$ es tal que $\int |k(s,t_0)| ds > \overline{K}-\frac{\epsilon}{2}$ . Por continuidad, podemos suponer que $t_o \in (a,b)$ (es decir, excluyendo $a,b$ sólo por comodidad).

$k$ es continua, y $[a,b]^2$ es compacta, por lo que $k$ es uniformemente continua. Elija $\delta>0$ tal que si $|t-t_0| < \delta$ entonces $|k(s,t)-k(s,t_0)| < \frac{\epsilon}{2(b-a)}$ para todos $s$ . Ahora dejemos que $f_n(t) = \phi_n(t-t_0)$ y elija $n$ lo suficientemente grande para que $\operatorname{supp} f_n \subset B(t_0,\delta)$ . (Tenga en cuenta que $\|f_n\|_1 = 1$ .)

Entonces tenemos \begin{eqnarray} \left| \int (k(s,t)-k(s,t_0)) f_n(t) dt \right| &\le& \int |k(s,t)-k(s,t_0)| f_n(t) dt \\ &=& \int_{t_0-\delta}^{t_0+\delta} |k(s,t)-k(s,t_0)| f_n(t) dt \\ &\le& \frac{\epsilon}{2(b-a)} \int_{t_0-\delta}^{t_0+\delta} f_n(t) dt \\ &=& \frac{\epsilon}{2(b-a)} \end{eqnarray} Observando que $\int k(s,t_0) f_n(t) dt = k(s,t_0)$ tenemos $|\int k(s,t) f_n(t) dt| \ge |\int k(s,t_0) f_n(t) dt|-\frac{\epsilon}{2(b-a)} = |k(s,t_0)|-\frac{\epsilon}{2(b-a)} $ .

Por fin, $\int|Tf_n| = \int |\int k(s,t) f_n(t) dt| ds \ge \int |k(s,t_0)| ds- \frac{\epsilon}{2} \ge \overline{K} - \epsilon$ . Desde $\epsilon>0$ era arbitraria, tenemos $\|T\| \ge \overline{K}$ .

Como ya sabe que $\|T\| \le \overline{K}$ se obtiene el resultado deseado.