mapea un triple colineal de puntos a otro triple de puntos en $\mathbb{R}^2$

Question

Dados dos triples de pw puntos colineales diferentes en $\mathbb{R}^2$ así que $(x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3) \in (\mathbb{R}^2)^3$ .

Existe un mapa de la forma $T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,x\mapsto Ax+b$ donde $A \in Gl(\mathbb{R},2), b\in \mathbb{R}^2$ avec $T(x_k)=y_k,k=1,2,3$ .

$$\iff$$

$$\frac{||x_1-x_2||}{||x_2-x_3||} = \frac{||y_1-y_2||}{||y_2-y_3||}$$

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Intuitivamente está algo claro, pero ¿cómo concretarlo?

Answer 1

Si los tres $x_1,x_2,x_3$ son colineales, entonces pueden expresarse como $x_1 = (x_1 - x_2) + x_2$ y $x_3 = (x_3 - x_2) + x_2 = s(x_1 - x_2) + x_2$ . Igualmente, $y_1 = (y_1 - y_2) + y_2$ y $y_3 = (y_3 - y_2) + y_2 = t(y_1 - y_2) + y_2$ .

Para mayor comodidad, ponga $v = x_1 - x_2$ y $w = y_1 - y_2$ . El vector $v$ es la dirección de la línea en la que $x_1,x_2,x_3$ y el vector $x_2$ es el desplazamiento de la línea desde $0$ . Del mismo modo, pero $w = y_1 - y_2$ .

Ahora podemos empezar a crear el mapa afín. Supongamos primero que $x_1 = y_1 = 0$ (construiremos $b$ para el caso general dentro de un momento), de modo que las dos rectas pasen por el origen. Es evidente que el mapa lineal $A$ tendrá que tomar el tramo de $v$ a la envergadura de $w$ . Para llevar $x_2$ a $y_2$ tendrá que tomar $v$ exactamente a $w$ . Pero también debe llevar $x_3$ a $y_3$ lo que da la condición $$A(sv) = sAv = sw = tw.$$ Esto implica que $s = t$ es decir, $$\frac{\|x_3 - x_2\|}{\|x_1 - x_2\|} = \frac{\|y_3 - y_2\|}{\|y_1 - y_2\|}.$$ Del mismo modo, si $s=t$ entonces $A$ viene dado por cualquier mapa que tome $v$ a $w$ .

¿Y si $x_1$ o $y_1$ no es $0$ ? Entonces el mapa $A$ tomará la $x$ -a una línea paralela a la $y$ -podemos corregirlo añadiendo $b = y_1 - Ax_1$ .

Answer 2

Esto es incorrecto como se ha dicho. Considere en ${\mathbb R}^2$ los dos triples $$x_1=(0,0), \quad x_2=(1,0),\quad x_3=(3,0)$$ y $$y_1=(0,1),\quad y_2=(1,1),\quad y_3=(-1,1)\ .$$