¿Por qué $VAR(My)=M VAR (y) M^T$ ?

Question

Esta pregunta se plantea en el contexto de los mínimos cuadrados ordinarios.

Si $M$ es una matriz, y $y$ es un vector de variables aleatorias, entonces me han dicho que $$VAR(My)=M VAR (y) M^T$$

Sé que $Var(y)=E[(y-Ey)(y-Ey)^T]$ pero no sé cómo obtener el resultado anterior.

¿Cómo obtenemos el resultado anterior y, en segundo lugar, cuál es un buen recurso para que aprenda sobre las expectativas y la varianza en el contexto de matrices y vectores en lugar de escalares, y sobre el cálculo matricial (ya que también se utiliza en OLS)?

Answer 1

Para facilitar la notación, digamos $E(Y)=\mu$ . \begin{align*} Var(MY) &= E\{(MY-M\mu)(MY-M\mu)^T\}\\ &= E\{M(Y-\mu)(Y-\mu)^TM^T\}\\ &= ME\{(Y-\mu)(Y-\mu)^T\}M^T\\ &= MVar(Y)M^T \end{align*} Según la sugerencia de Michael, esto utiliza la linealidad de la expectativa.