Teorema relativo a la convergencia uniforme

Question

Leí el siguiente teorema del libro de Rudin. Entiendo su demostración, pero no puedo entender el significado de este teorema.

Estaría muy agradecido a quien me lo explique.

Por cierto. ¿Es cierto que $f_n:X\to\mathbb{R}$ ? donde $X$ algún espacio métrico.

Answer 1

Piense en el caso de que $f_n$ son continuas. En ese caso, puede ampliar $f_n$ y $f$ al cierre de $E$ por continuidad, y los números $A_n$ son sólo $f_n(x)$ por continuidad. En ese caso el teorema dice que se puede extender el conjunto de puntos donde $f_n$ converge a $f$ para incluir también los puntos límite del conjunto dado $E$ . Es decir, $f_n(x)$ convergerá a $f(x)$ como $n\to\infty$ siempre que $x$ es un punto límite. En otras palabras, la convergencia uniforme en $E$ implicará también la convergencia en el cierre.

En el caso general, cuando $f_n$ no son necesariamente continuos, no se puede afirmar que los números $A_n$ son iguales a $f_n(x)$ por lo que el significado del teorema es algo menos tangible en este caso. Creo que Rudin lo demostró en este contexto general sólo porque podía hacerlo.