Una ecuación, donde la solución no existe, pero en la solución de la ecuación tenemos una solución. por qué está sucediendo esto?

Question

La solución de la ecuación

$\sqrt{(x+1)} -\sqrt{(x-1)}= \sqrt{(4x-1)}$

es $\frac{5}{4}$,pero cuando ponemos a $x=\frac{5}{4}$ en la ecuación dada, entonces no satisface a la ecuación.

En realidad, si tomamos $f(x)=\sqrt{(x+1)} -\sqrt{(x-1)} -\sqrt{(4x-1)}$, entonces podemos ver que $f(x)$ se define al$x \geq 1$$f(1) \geq 0\mbox{ and }f'(x) \geq 0$, por tanto, la función es monótona creciente y nunca va a aparecer cero.

entonces, mi pregunta es , En este tipo de ecuación donde la solución en realidad no existe, entonces ¿por qué tenemos este tipo de solución?

mi solución procedimiento, $$ \begin{align} \sqrt{(x+1)} -\sqrt{(x-1)}&= \sqrt{(4x-1)}\\ \implies 2x-2\sqrt{x^2-1}&=4x-1\\ \implies {-2}\sqrt{x^2-1}&= 2x-1\\ \implies 4(x^2-1)&=4x^2+1-4x\\ \implies x&=5/4 \end{align}$$

Answer 1

Vamos a considerar una más simple ejemplo, para entender. Dada la ecuación $$ x = 1 $$ usted puede tomar la plaza de los dos lados: $$ x^2 = 1 $$ y encontrar dos soluciones: $$ x=1 \qquad x=-1. $$

Esto sucede debido a que la operación $x\mapsto x^2$ no es invertible. Si se aplica una no invertible función de una ecuación, el número de soluciones puede aumentar.

Answer 2

$-\frac{x}{x}= \frac{x}{x}$ tiene ninguna de las soluciones, ya que el $-\frac{x}{x}\neq \frac{x}{x}$ no importa lo $x$ es.

Pero podemos plaza de los dos lados, y entonces, ¿qué sucede?

$\frac{x^2}{x^2}= \frac{x^2}{x^2}$ es una ecuación que es verdadera para todos los números distintos de cero.

Mediante la aplicación de un no invertible operación a ambos lados, podemos convertir una ecuación con ningún soluciones en una, con uncountably infinitamente muchas soluciones.

Answer 3

Siempre que vamos a la plaza, podemos introducir inmediatamente extraños raíz

Observar que $\displaystyle\frac54$ es en realidad una raíz de $$\sqrt{x+1}=\sqrt{4x-1}-\sqrt{x-1}$$

También, se observa que la $\displaystyle2x-1=-2\sqrt{x^2-1}\le0\implies 2x\le1\iff x\le\frac12$ real $x$

Pero, $\displaystyle{\sqrt{x-1}}$ no es real a menos que $x\ge1$

Answer 4

El proceso de resolución de una ecuación es básicamente el de la inversión: sucesivamente se aplican (inverso) funciones a ambos lados de la ecuación hasta llegar a un punto donde la solución es clara. Este proceso depende de cada una de las sucesivas ecuación (sobre la aplicación de diversas inversos sucesivamente) ser equivalente a la anterior, para que el final de la ecuación de $x=\ldots$ es equivalente a la ecuación original. Sin embargo, cuando se aplica no invertible operaciones (como $x\mapsto x^{2}$, es decir, el cuadrado ambos lados), de no obtener la equivalencia entre la ecuación antes de cuadrar y la ecuación después de cuadrar: consigue un avance de implicación, es decir, que el final de la ecuación de $x=\ldots$ no implica la ecuación anterior(s) antes de la cuadratura, es sólo implícita en sí misma por la cadena anterior de ecuaciones.

Answer 5

Escribir la ecuación como $$ \sqrt{x+1}=\sqrt{x-1}+\sqrt{4x-1} $$ Entonces usted debe tener \begin{cases} x+1\ge0\\ x-1\ge0\\ 4x-1\ge0 \end{casos} que se reduce a $x\ge1$. Ahora square, usted puede estar seguro de no agregar espurias soluciones, porque ambos lados representar a los números negativos: $$ x+1=x-1+4x-1+2\sqrt{(x-1)(4x-1)} $$ o $$ -4x+3=2\sqrt{(x-1)(4x-1)} $$ Ahora el lado derecho no negativo, por lo que también el lado izquierdo debe ser, lo que significa que $$ -4x+3\ge0 $$ o $x\le 3/4$. Con la anterior limitación, esto tiene la consecuencia de que ninguna solución puede existir.