Ecuación matricial cuadrática

Question

Consideremos matrices diagonales reales (conocidas) $A$ , $B$ y $C$ y una matriz conforme $\Pi$ .

$C + \Pi B + \Pi A \Pi = 0$

He estado intentando resolver este sistema utilizando álgebra elemental. Tengo dos preguntas: (1) ¿Es esta una ecuación de Ricatti? ; y (2) ¿tiene una solución analítica?

Gracias.

Answer 1

(1) La ecuación de Riccati algebraica no simétrica es $$C + \Pi B + D \Pi + \Pi A \Pi = 0$$ En $D$ matriz en su caso es cero.

(2) Tu situación es mucho más sencilla. Si cada matriz es diagonal, mira $\Pi = diag(x_i)$ como solución. Entonces para $A=diag(a_i)$ $B=diag(b_i)$ $C=diag(c_i)$ la ecuación matricial es fácilmente separable en las ecuaciones: $$c_i + x_ib_i + x_i^2a_i =0$$ Y cada término se encuentra con la fórmula cuadrática habitual. Cada ecuación tendrá dos soluciones a menos que haya una raíz repetida. Así que en general, como sistema hay $2^n$ diferentes matrices $\Pi$ para resolver su fórmula, la elección de una de las dos posibilidades para cada diagonal en $\Pi$ .