Sea $ w_1,...,w_{ \phi(n)}$ sea la primitiva $n$ raíces de la unidad de $ t^n -1 \in \mathbb Q[t]$ . Demuestre que para cada $ 1 \le i \le \phi (n)$ existe un $ \sigma\in Aut \mathbb Q(w_1)$ satisface $ \sigma ( w_1) = w_i$ .
Sé que lo contrario es cierto, es decir, dado cualquier $ \sigma\in Aut \mathbb Q(w_1)$ , $ \sigma (w_1) $ siempre se asigna a algún $ w_i$ . Pero para esta dirección tengo problemas en construir el automorfismo. Cualquier ayuda es apreciada.
Su $w_i$ son las raíces de $\Phi_n$ El $n$ -enésimo polinomio ciclotómico. Así que tu afirmación es equivalente a la irreductibilidad de $\Phi_n$ en $\mathbb Q$ (si $w$ es cualquier raíz de $\Phi_n$ , ${\mathbb Q}[w]$ es isomorfo al anillo cociente $\frac{{\mathbb Q}[X]}{\Phi_n(X)}$ ).
¿Sabe ya que $\Phi_n$ ¿es irreducible? Si no, podrías echar un vistazo aquí por ejemplo.
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