Aproximadamente $f''(x)$ dado $f(x),f(x+h),f(x+3h),f(x-5h)$

Question

Dado $f(x),f(x+h),f(x+3h),f(x-5h)$ aproximado $f''(x)$ .

Solución del libro: De la serie de Taylor, $$ \\ f(x+h)=f(x)+f'(x)h+0.5f''(x)h^2+{1\over6}f'''(x)h^3+O(h^4) \\ f(x+3h)=f(x)+3f'(x)h+4.5f''(x)h^2+4.5f'''(x)h^3+O(h^4) \\ f(x-5h)=f(x)-5f'(x)h+12.5f''(x)h^2-{125\over6}f'''(x)h^3+O(h^4) $$ Así, $$ \\ af(x+h)+bf(x+3h)+cf(x-5h)+df(x)= \\(a+b+c+d)f(x)+(a+3b-5c)f'(x)h+(0.5a+4.5b+12.5c)f''(x)h^2+({a\over6}+{27\over6}-{125\over 6})f'''(x)h^3+O(h^4) $$ Ahora queremos fijar los coeficientes de $f'(x)$ y de $f'''(x)$ porque no se dan. Así que tenemos que calcular el sistema de ecuaciones lineales $$ \\ a+b+c+d=0 \\a+3b-5b=0 \\0.5a+4.5b+12.5c=a \\{a\over6}+{27b\over6}-{125c\over6}=0 $$

Mi pregunta es por qué pusieron la tercera ecuación que en $a$ ?

Answer 1

Quieren encontrar una combinación lineal de modo que sólo quede el término de tercer orden. Así que necesitan cancelar los términos de otros órdenes y tener un número distinto de cero en caso contrario. Podrían haber elegido cualquier valor distinto de cero, sólo resulta que es más fácil si se elige a.