Todo grupo finito es isomorfo a algún grupo de Galois para alguna extensión normal finita de algún campo.

Question

Todo grupo finito es isomorfo a algún grupo de Galois para alguna extensión normal finita de algún campo.

Estoy tratando de escribir una prueba, pero sé que esto es incorrecto. ¿Puede alguien indicarme la dirección de la escritura?

Proposición: Todo grupo finito es isomorfo a algún grupo de Galois $\text{Aut}_F(K)$ para alguna extensión normal finita K de algún campo F.

Mi intento de prueba: Para cada $n \in \mathbb{Z}^+$ donde $n = |\text{Aut}_E K|$ existe una extensión normal $K$ de $E$ tal que $\text{Aut}_E K \cong S_n$ . Entonces considera un subgrupo $H \leq \text{Aut}_E K$ donde $H \cong \text{Aut}_E K$ . De ello se desprende que $H$ es el grupo de Galois de $K$ en $K_H$ .

Answer 1

Su idea es correcta, y de hecho es la prueba estándar: dejemos $G$ sea un grupo determinado, y sea $n=|G|$ .

Hay una extensión de campo $K/E$ con $\mathrm{Aut}_E(K)\cong S_n$ (por ejemplo, $E=\mathbb{Q}(s_1,\ldots,s_n)$ , $K=\mathbb{Q}(x_1,\ldots,x_n)$ , donde $s_1,\ldots,s_n$ son los polinomios simétricos en $x_1,\ldots x_n$ ).

Por el Teorema de Cayley, sabemos que $G$ es isomorfo a un subgrupo $H$ de $S_n$ , por lo que si dejamos que $L$ sea el campo fijo de $H$ en $K$ entonces por el Teorema Fundamental de la Teoría de Galois sabemos que $K/L$ es Galois y $\mathrm{Aut}_{L}(K) = H\cong G$ .