Forma canónica de Jordan del operador lineal

Question

Supongamos que $\alpha$ es un operador lineal sobre un espacio vectorial de dimensión finita V. Entiendo que la teoría dice que existe una base de Jordan para V en la que la representación matricial de $\alpha$ con respecto a esa base está en forma de Jordan. Pero, ¿qué pasa si uno sabe que V es una suma directa de algunos $\alpha$ -subespacios invariantes: $W_1, W_2, ..., W_k?$

¿Da esta suposición extra para una prueba más corta de que existe una base, B, en la que la representación matricial de $\alpha$ es la diagonal de las matrices de bloques (es decir $[\alpha]_B = diag(A_1, ..., A_k)$ ? No consigo entender como el problema del que proviene quiere que utilicemos la suposición. ¿Alguien tiene alguna pista de lo que podría ser después? Todo lo que veo es evitar la suposición...

Answer 1

He aquí una idea: que $B_i = \{v^i_1 , \dots, v^i_{m_i}\}$ sea una base para $W_i$ para cada $i \in [k]$ . Ahora bien, puesto que $V = \bigoplus_{i=1}^k W_i$ el conjunto $\mathcal{B} = \cup_{i=1}^nB_i$ es una base para $V$ . Consideremos ahora la matriz de $\alpha$ en esta base, $A :=[\alpha]_{\mathcal{B}}$ . Ahora, el $i$ -ésima columna de $A$ consiste en las coordenadas del $i$ -ésimo vector de $\mathcal{B}$ . Desde

$$ \mathcal{B} = \{v^1_1, \dots, v^1_{m_1}, v^2_1, \dots v^k_1, \dots , v^k_{m_k}\}, $$

Las columnas de $A$ que corresponden a los vectores $v^j_1, \dots, v^j_{m_j}$ son las coordenadas de las imágenes de éstos, y puesto que $\alpha$ es $W_j$ invariante, corresponderán de nuevo, a los vectores $v^j_1, \dots, v^j_{m_j}$ . Esto nos dice que en estas columnas, las entradas no nulas de $A$ estarán en las filas correspondientes a $\{v^j_l\}_{l=1}^{m_j}$ que es precisamente eso $A$ es diagonal de bloque.