Cambio del orden de integración - integral triple

Question

Cambiar el orden de integración de $$\int_0^6 \int_0^{12-2y}\int_0^{\frac{12-2y-x}{3}} x \, dz \, dx \, dy$$ a $dx\,dy\,dz$

Así que al principio empecé con la gráfica de la función, primero mirando el plano XY y luego mirando la función z:

Así que primero tengo que integrar sobre $x$ así que "escaneo" la función para todo el eje x como $y$ y $z$ varía. así que lo que obtengo $x$ de $0$ a $\frac{12-2y-x}{3}\Rightarrow x=12-2y-3z$ a continuación tengo que mirar el plano ZY e integrar primero sobre el eje Y que va desde $0$ a $\frac{12-2y-x}{3}$ pero como estamos en el plano ZY $x=0$ y obtenemos $y=\frac{12-3z}{3}$ y por último $z$ va de $0$ a $12$

Así que en general tengo:

$$\int_0^{12}\int_0^{\frac{12-3z}{2}}\int_0^{12-2y-3z} x \, dx \, dy \, dz$$

Que es incorrecto, ¿dónde me equivoqué?

Answer 1

A partir de la integral exterior, obtenemos $0<y<6$

A partir de la integral central, obtenemos $x=12-2y$ . La intersección en $y$ -eje es $6$ (set $x=0$ ).

A partir de la integral interna, obtenemos $z=\frac{12-2y-x}{3}$ . La intersección en el eje z es $4$ (set $x=0$ y $y=0$ ).

Así que en general, usted debe obtener $\int_0^4\int_0^{6-\frac{3}{2}z}\int_0^{12-2y-3z}x\;dx\,dy\,dz$

Todo en su cálculo era correcto, excepto que la intersección en el eje z. Usted debe volver atrás y comprobar que.