Por ejemplo: un niño de 55 kg de masa sube una escalera de 50 peldaños de 10 en 10. Si la altura de cada peldaño es de 10 cm, halla su potencia. Si la altura de cada peldaño es de 10 cm, halla su potencia.
Mi pregunta es por qué no tomamos g como negativo ya que el niño se mueve contra la gravedad.
$g$ es un símbolo que representa la magnitud de la aceleración de caída libre, que es aproximadamente igual a $9.8$ m/s $^2$ en la superficie de la Tierra.
Si trabaja en un sistema de coordenadas en el que $\hat y$ apunta hacia el cielo, entonces la aceleración de un objeto que cae libremente es $\vec a = -g \hat y = -\left(9.8\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\right) \ \hat y$ .
Las magnitudes vectoriales (como la posición, la velocidad, la aceleración y la fuerza) no tienen signo; no son positivas ni negativas. Sólo las componentes de un vector con respecto a un sistema de coordenadas puede ser positiva o negativa. Por ejemplo, la aceleración $\vec a$ de un objeto en caída libre es un vector. La dirección $y-$ de este vector (en un sistema de coordenadas en el que $\hat y$ apunta hacia arriba) es negativo, y es igual a $-g = -9.8\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ .
Por otra parte, si utilizamos un sistema de coordenadas en el que $\hat y$ apunta hacia abajo, entonces el $y-$ del vector aceleración es positiva e igual a $g = 9.8\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ .
Hay algunos autores que utilizan la (en mi opinión) ridícula convención de que $g = -9.8 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ y, por tanto, es una cantidad intrínsecamente negativa. Esto es una locura por dos razones - en primer lugar, porque conduce a fórmulas como $v_f = \sqrt{-2gh}$ que parece incorrecto hasta que recuerdas el signo menos intrínseco en $g$ pero sobre todo porque oculta el hecho de que todavía necesita definir la aceleración real relativa a un sistema de coordenadas.
Es por definición. No sé muy bien cuál es tu formación, así que intento explicártelo en términos más sencillos.
Supongo que tu confusión proviene del hecho de que conoces la fuerza gravitatoria como F = -mg, donde g es una constante positiva (normalmente 9,81 m/s²), pero aquí en el potencial no hay signo menos.
Proviene de la definición de un potencial. En física, se puede hallar la fuerza correspondiente a un potencial restando el gradiente (algo así como la derivada) del potencial. En tu ejemplo, el potencial es P(x) = mgx, y restando la derivada con respecto a x obtenemos la fuerza F(x)= -mg. Esto tiene la agradable propiedad de que nuestra energía potencial es positiva, pero la fuerza resultante es negativa y, por tanto, atractora.
Se supone que el aumento de tu altura incrementa tu energía potencial. Si defines el potencial con signo negativo, entonces un aumento de la altura provocaría una disminución de la energía potencial.
Sé que llego muy tarde a esta pregunta, pero pensé que podría añadir algunas matemáticas para explicarlo para cualquiera que esté interesado.
Como cualquier otra respuesta el signo de $g$ depende del sistema de coordenadas en el que nos encontremos. Normalmente, elegimos el sistema de coordenadas para que tenga su $x, y$ ejes paralelos al suelo y el $z$ eje perpendicular a aquellos y apuntando lejos del suelo, es decir, apuntando hacia el cielo. Dado que la fuerza gravitatoria actúa "tirando" hacia abajo de una partícula su dirección es opuesta a la $z$ y por lo tanto decimos que $g$ es negativo, es decir $F_z = -mg$ en la superficie de la Tierra.
Para responder a su pregunta sobre por qué el potencial gravitatorio $U = mgh$ es no negativo, se reduce a la forma en que definimos un potencial. En física, solemos definir el potencial (si existe) como la función $U$ que satisface $$\vec F = -\text{grad} \ U = - \begin{pmatrix} \frac{\partial U}{\partial x} \\ \frac{\partial U}{\partial y} \\ \frac{\partial U}{\partial z} \end{pmatrix}$$
donde $\vec F$ es una fuerza (obsérvese el signo negativo). En este caso, puesto que $g$ sólo afecta a una partícula en el $z$ con la magnitud de $-mg$ suponiendo que el $z$ apunta hacia el cielo, podemos escribir la fuerza gravitatoria $\vec F$ como el campo vectorial $\vec F = (0 \ \ 0 \ \ -mg)$ . Para que $mgh$ para ser un potencial de esta fuerza, su gradiente debe ser igual a $\vec F$ comprobemos que efectivamente es un potetnial. Recuerda que $h$ representa una distancia en el $z$ por lo que tenemos para cada componente $$ -\frac{\partial U}{\partial x} = -\frac{\partial}{\partial x} mgh = 0 \\ -\frac{\partial U}{\partial y} = -\frac{\partial}{\partial y} mgh = 0 \\ -\frac{\partial U}{\partial z} = -\frac{\partial}{\partial z} mgh = -mg $$ lo que demuestra claramente que $-\text{grad}( mgh )= \vec F$ .
Ahora, en cuanto a por qué hemos elegido la fuerza para igualar el gradiente negativo, yo diría que es realmente arbitrario, es decir, no hay ninguna razón matemática inherente para que sea negativo. Pero sin embargo tiene sentido intuitivo que $mgh $ es no negativo, ya que representa la cantidad de trabajo que puede realizar la fuerza gravitatoria; cuando movemos algo más arriba más puede caer, y caer es precisamente el trabajo que realiza la fuerza gravitatoria sobre un objeto.
En tu ejemplo, el chico aumenta su altura desde unos $h_0$ a $h = h_0$ + 50 escalones, lo que te da un cambio positivo en el potencial ya que la fuerza gravitatoria ahora tiene que ser capaz de tirar de él hacia abajo desde esos 50 escalones también. Supongamos que en lugar de eso bajara 50 escalones, lo que nos daría un potencial negativo, ¿qué significaría eso? Significa que la fuerza gravitatoria ha hecho trabajo y ahora tiene menos capacidad de trabajo: tirar de ti hacia abajo.
También podemos derivar el potencial dada la fuerza $\vec F = (0 \ \ 0 \ \ -mg)$ . Una formulación equivalente de la definición de potencial anterior es
$$U = -\int_\gamma \vec{F} \cdot d\vec r.$$ Sea $\vec r (t) = (x(t) \ \ y(t) \ \ z(t)), t \in [\alpha, \beta]$ describir el camino $\gamma$ de la partícula tal que $\vec r (\alpha) = \vec a$ y $\vec r (\beta) = \vec b$ donde $\vec a, \vec b$ son el punto inicial y final de la trayectoria, respectivamente. Entonces, por la definición de la integral de línea $$U = -\int_\gamma \vec F (\vec r)\cdot \vec r' dt = -\int_\alpha^\beta (0 \ \ 0 \ \ -mg) \cdot (x(t)' \ \ y(t)' \ \ z(t)')dt = mg\int_\alpha^\beta z(t)'dt $$ y por el teorema fundamental del cálculo obtenemos $$ U = mgz(\beta) - mgz(\alpha) = mg\left( z(\beta) - z(\alpha) \right) $$ pero $z(\beta) - z(\alpha)$ es sólo un cambio en la altura, vamos a denotar esto con $h$ y obtenemos el resultado esperado $$ U = mgh. $$
Podrías. Aquí, +/- representan la dirección. En última instancia, de una situación a otra puedes definir qué dirección es positiva y negativa. Si defines arriba como positivo, puedes tratar la fuerza de gravedad como negativa.
Ten en cuenta que la energía es un escalar: no tiene dirección. Así que para un problema sencillo como éste (sin fuerzas en competencia, etc.) puedes trabajar con valores absolutos.
Tengo muchos estudiantes que realmente quieren la aceleración gravitacional, $g$ para tener un valor negativo.
No es así. Es un vector. La magnitud del vector es positiva. Su dirección es abajo .
Ahora bien, hay ocasiones en las que es conveniente establecer un sistema de coordenadas en el que se represente "abajo" con números negativos y "arriba" con números positivos. Pero hay otras veces en que eso no es conveniente. Usted ha encontrado una de esas veces.
Cuando tengas dudas sobre el signo de una cantidad en física, la forma correcta de responder es utilizar palabras en inglés (o palabras en tu lengua natural favorita) para describir lo que está ocurriendo. Aquí tienes a un niño que está subiendo unas escaleras. Cuando llegue arriba, tendrá más energía potencial gravitatoria -es decir, energía almacenada en el campo gravitatorio entre el chico y la Tierra- que antes. Energía entra en el campo gravitatorio a un ritmo de 275 vatios, como ya has calculado. Esa energía procede de las reacciones químicas de los músculos del niño, que deben ser emitiendo energía a un ritmo algo superior a 275 vatios, porque parte de la energía de las reacciones químicas se desperdicia en forma de calor y ruido.
Ahora, para los problemas de equilibrio de energía, será importante asegurarse de que el lado que pierde energía y el lado que la gana se representan con signos algebraicos opuestos. Pero si todo lo que estás haciendo es encontrar la magnitud del cambio, entonces el signo no es relevante. Consideremos un problema en el que un coche sube por una rampa, en lugar de un niño por las escaleras. Creo que como la energía sale del motor del coche y se convierte en energía potencial gravitatoria, tiene sentido hablar de la potencia del motor como negativa. Pero en toda la literatura de marketing que he leído sobre coches, he nunca visto uno anunciado con caballos de fuerza negativos. No es una convención conveniente en ese caso.
Por cierto, subir cincuenta escalones en diez segundos es un juego de piernas impresionante.
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