Progresiones aritméticas en secuencias de oscilación lenta

Question

Una secuencia infinita ( $a_0$ , $a_1$ ...) es tal que el valor absoluto de la diferencia entre 2 términos consecutivos cualesquiera es igual a $1$ . ¿Existe una subsecuencia de longitud 8 tal que los términos estén igualmente espaciados en la secuencia original y los términos formen una secuencia aritmética de izquierda a derecha?

Aclaraciones: 1. La diferencia común puede ser negativa o 0

Ejemplo: la secuencia 1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 5, 6, 5, 6, 7, 6, 7, 8, 7, 8, 9, 8, 9, 10

funciona porque el 3er término es 3, el 6º término es 4, el 9º término es 5, ..., el 24º término es 10.

y los términos 3º, 6º, ..., 24º están igualmente espaciados. También forman una secuencia aritmética.

Estoy pensando en el teorema de Szekeres, pero no sé si funcionaría.

EDIT: Pude mostrarlo por $n=$ . En realidad me interesan más los indefinidamente largos. Pero bueno, podría ser que uno puede construir algo que una indefinidamente larga nunca sucederá.

Answer 1

Lejos de ser una respuesta completa, pero tengo (espero) nueva información. Longitud $4$ igualmente espaciadas, las subsecuencias AP pueden encontrarse a partir de todo finito $(a_n)_{n=1}^N$ con $N>10$ y $\forall n(|a_{n+1}-a_n|=1)$ . Esto se puede forzar muy fácilmente, ya que sólo existen $2^N$ longitud distinta $N$ que cumplen la condición de valor absoluto. El resultado es sólo $2048$ secuencias distintas que requieren comprobación.

He aquí un ejemplo de longitud $10$ secuencia que no contiene ninguna longitud $4$ , igualmente espaciadas, subsecuencias AP. Sin embargo, añadir $a_{10}+1$ o $a_{10}-1$ lo anulará.

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Así que pensé que probablemente hay alguna longitud finita $N$ después de lo cual cada secuencia contendrá la longitud $8$ , igualmente espaciadas, subsecuencias AP. Resulta que incluso para longitudes $5$ , $N$ tendría que ser mayor que $32$ . Existen $2^{32}$ secuencias distintas, y filtrando aquellas secuencias en las que la longitud $5$ AP ya se han encontrado, más de $3$ millones de secuencias. Fue entonces cuando tuve un error de memoria.

Tal vez alguno de ustedes con mejor hardware y/o destreza de programación (o simplemente más tiempo) podría forzar la solución, si es que existe tal solución finita. $N$ . Por supuesto, una respuesta positiva para $k$ planteará la misma pregunta para $k+1$ y al final te quedarás sin capacidad de procesamiento o memoria, por lo que es un método poco elegante de hacerlo.