Estimación de datos de panel para la participación fija por país y variable en el tiempo de y

Question

Quiero estimar la siguiente ecuación usando un conjunto de datos de panel con países $i$ y años $t$, preferiblemente en R:

$$ y_{it} = \beta_1 \cdot x_{1,it} + \beta_2 \cdot x_{2,it} + \epsilon_{it} $$

Sin embargo, no puedo observar $y_{it}$ directamente. En su lugar, solo puedo observar $\tilde y_{it} = s_i \cdot y_{it}$, donde $s_i$ es una proporción de $y_{it}$ que varía entre países, pero no a lo largo del tiempo. $s_i$ no es observable. Si fuese observable, probablemente podría simplemente sustituir y estimar

$$ \tilde y_{it} = \beta_1 \cdot x_{1,it} \cdot s_i + \beta_2 \cdot x_{2,it} \cdot s_i + \epsilon_{it} $$

directamente.

¿Hay alguna manera de estimar la relación anterior dadas las limitaciones de mis datos? De alguna manera parece ser un problema que se puede abordar utilizando variables dummy de país (es decir, un modelo de efectos fijos) o un modelo de efectos aleatorios, pero no logro entenderlo.

Answer 1

Dado que tienes suficientes datos para estimar regresiones individuales, al menos puedes tener una idea de $s_i$ de la siguiente manera.

1. Estima regresiones individuales, obtén las estimaciones $\beta_{i1}, \beta_{i2}$
2. Elige el país base $k
3. Calcula las relaciones: $\beta_{k1}/\beta_{i2}$, $\beta_{k2}/\beta_{i2}$, para todos los $i$.
4. Si la hipótesis original se cumple, estas relaciones deberían ser iguales a $s_k/s_i$.
5. Si la igualdad es factible, multiplica todos los países $i$ por las relaciones estimadas $s_k/s_i$. Obtendrás la ecuación:

$$y_{it}s_k = \beta_1 x_{1,it}s_k + \beta_2 x_{2,it}s_k + \varepsilon_{it}s_k$$

Todas las variables son observadas, por lo que puedes estimar esto utilizando datos de panel.

6. Dado $\beta_1$ y $\beta_2$ puedes calcular $s_i$ como $\beta_{i1}/\beta_{1}$ y $\beta_{i2}/\beta_2$.

Este no es un procedimiento estadístico estricto, pero al menos tendrás una idea de si tu hipótesis original se cumple.