Cálculo de normas de mapas positivos

Question

Supongamos que $\Phi: S_n \to S_n$ es un mapa lineal positivo sobre matrices simétricas. Como consecuencia del teorema de Russo-Dye sabemos que

$$\|\Phi\|=\|\Phi(I)\|$$

donde $\|\cdot\|$ es la norma del operador, es decir, sección 2.5 aquí .

En cambio, me interesa $\|\cdot\|_1$ la norma de la traza (suma de valores singulares), ¿cómo calculo la norma del operador inducido en ese caso?

Answer 1

Voy a suponer que, contrariamente a lo que indica su referencia, usted está efectivamente interesado en un mapa que es positivo sobre las matrices simétricas reales.

El método de "fuerza bruta" para calcular la norma de traza sería el siguiente. Sea $E_{ij}$ denotan el tamaño $n$ con una matriz $1$ en el $i,j$ y ceros en el resto. Definir $$ B_{ij} = \begin{cases} E_{ii} & i=j\\ \frac 1{\sqrt{2}}(E_{ij} + E_{ji}) & i \neq j. \end{cases} $$ Vemos que $B_{ij}$ forma una base ortonormal en $S_n$ respecto al producto interior definido por $\langle A,B \rangle = \operatorname{tr}(AB)$ . Sea $\mathcal B$ denotan la base $\mathcal B = \{B_{ij} : 1 \leq i \leq j \leq n\}$ donde las tuplas $i,j$ se toman en orden lexicográfico . Defina $f : \{(i,j): 1 \leq i \leq j \leq n\} \to \{1,\dots,n(n+1)/2\}$ sea la función de recuento asociada, de modo que $$ f(1,1) = 1, \quad f(1,2) = 2,\dots, f(2,1) = n+1, \dots, f(n,n) = n(n+1)/2. $$ Sea $M$ denotan el tamaño $n(n+1)/2$ matriz de $\Phi$ en relación con $\mathcal B$ . Las entradas de $M$ satisfacer $$ M_{\phi(i,j),\phi(p,q)} = \langle \Phi(B_{ij}),\Phi(B_{pq})\rangle. $$ La norma de traza de $\Phi$ es igual a la norma traza de $M$ .