Transformación de Fourier de la distribución templada $p.v. \frac{1}{x}$

Question

Demostrar que la transformación de Fourier de $p.v. \frac{1}{x}\in \mathcal{S}'(\Bbb{R})$ es $-i\pi \text{sgn}(y)$ .

Este es un resultado clásico que se muestra en muchos libros de texto,mi pregunta es alguna cuestión de detalle que no puedo resolver,es decir :

\begin{aligned} \text { p.v. } \frac{1}{x}(\varphi) &=\text { p.v. } \frac{1}{x}(\widehat{\varphi})=\lim _{\epsilon \downarrow 0} \int_{\epsilon<|x|<1 / \epsilon} \frac{\widehat{\varphi}(x)}{x} d x \\ &=\lim _{\epsilon \downarrow 0} \int_{\epsilon<|x|<1 / \epsilon} \frac{1}{x}\left(\int_{-\infty}^{\infty} \varphi(y) e^{-2 \pi i x y} d y\right) d x\\ &=\lim _{\epsilon \downarrow 0} \int_{-\infty}^{\infty} \varphi(y)\left(\int_{\epsilon<|x|<1 / \epsilon} \frac{e^{-2 \pi i x y}}{x} d x\right) d y \\ &=\int_{-\infty}^{\infty} \varphi(y)\left(\lim _{\epsilon \downarrow 0} \int_{\epsilon<|x|<1 / \epsilon} \frac{e^{-2 \pi i x y}}{x} d x\right) d y \\ &=-i \pi \int_{-\infty}^{\infty} \operatorname{sgn}(y) \varphi(y) d y \end{aligned}

En la cuarta igualdad,ponemos el límite en la integral.No consigo entender este paso,quizás necesitemos aplicar DCT,denotar $\int_{\epsilon<|x|<1 / \epsilon} \frac{e^{-2 \pi i x y}}{x} d x = g(\epsilon,y)$ tenemos que limitar $|f(y)g(\epsilon,y)|$ con el fin de aplicar DCT, pero no sé cómo.

Answer 1

Querías decir $$\widehat{\text {p.v.} \frac{1}{x}}(\varphi) =\text {p.v.} \frac{1}{x}(\widehat{\varphi})$$

Entonces para $y\ne 0$ hacer el cambio de variable $x = u/y$ en $$\lim _{\epsilon \downarrow 0} \int_{\epsilon<|x|<1 / \epsilon} \frac{e^{-2 \pi i x y}}{x} d x$$ obtendrás $C \text{sign}(y)$ donde $C =-i \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin(u)}{u}du =- i\pi$

$\int_{\epsilon<|x|<1 / \epsilon} \frac{e^{-2 \pi i x y}}{x} $ converge de forma acotada y localmente uniforme en $\Bbb{R}^*$ a $-i\pi \text{sign}(y)$ así que no hay problema para cambiarlo $\lim $ y $\int$ (como $\hat{\varphi}$ es $L^1$ ) ni con el caso $y=0$ .