Toda raíz primitiva módulo de un primo impar es un nonresiduo cuadrático

Question

Esta es mi prueba de la afirmación del título. ¿Es correcta?

Supongamos que $a$ es una raíz primitiva y residuo cuadrático módulo $p$ . Entonces, por definición $$\operatorname{ord}_p(a)=p-1$$ Pero el criterio de Euler establece que $$a^{(p-1)/2}\equiv1\bmod p$$ lo cual es imposible ( $\frac{p-1}2<p-1$ para todos los primos Impares $p$ ) y conduce a una contradicción. Por lo tanto, toda raíz primitiva es un no-residuo cuadrático módulo de un primo impar $p$ .

Tengo otra pregunta. ¿Es cada no-residuo cuadrático una raíz primitiva?

Answer 1

Utilizar el criterio de Euler podría ser correcto, pero parece un poco exagerado. Se podría llegar fácilmente al resultado suponiendo que $a$ es un residuo cuadrático y entonces considerando el orden de $b$ (definido por $b^2 \equiv a \bmod p$ ):

Supongamos que $b$ es una raíz primitiva. Entonces $b^{p-1}\equiv 1 \bmod p$ pero como sabemos que $p-1$ es par, se dará el caso de que $a^{(p-1)/2} \equiv b^{p-1}\equiv 1$ también, así que $a$ no es una raíz primitiva.

Supongamos $b$ no es una raíz primitiva; por lo tanto hay alguna $k<p-1$ tal que $b^k \equiv 1$ . Entonces $a^k \equiv b^{2k} \equiv 1^2 \equiv 1$ y $a$ tampoco es una raíz primitiva.

Esto nos da: $a$ es un residuo cuadrático $\bmod p \implies a$ no es una raíz primitiva $\bmod p$ . Desde $a$ no puede ser a la vez un residuo cuadrático y una raíz primitiva, lo que demuestra la afirmación del título.

Para responder a su otra pregunta, considere un primo $p>3$ con $p\equiv 3 \bmod 4$ . Entonces $-1$ es un no-residuo cuadrático pero, por supuesto, no es una raíz primitiva. (En general hay muchos no-residuos cuadráticos que no son raíces primitivas, pero esto es fácil de demostrar).