John Milnor, en su libro Complex Dynamics in One Variable, sitúa a Ernst Schröder a la cabeza de una lista de fundadores del campo de la dinámica compleja, y en las investigaciones de Schröder sobre casos especiales de iteración funcional, o composición funcional iterada (CFI), la iteración se reduce a la traslación de una función de flujo básica.
Si echamos un vistazo al artículo de Schröder de 1869/1870 "Ueber unendlich viele Algorithmen zur Auflösung der Gleichungen", o a la traducción (que tiene un error de transcripción) de Stewart, "On infinitely many algorithms for solving equations", veremos que Schröder hizo uso de las derivadas iteradas, o generadores infinitesimales iterados (GI), $(\frac{1}{f'(z)}\partial_z)^n=(g(z)\partial_z)^n $ en su exploración de la CFI relacionada con la generalización del método iterativo de Newton para hallar los ceros de una ecuación. Para una función analítica $f$ y su inversa composicional local $f^{(-1)}$ , Schröder construye la serie, en términos de los GI, para $FL(z,t)=f^{(-1)}[t+f(z)]$ evaluado en $t = -f(z)$ dando el cero $z_1 =FL(z,-f(z))= f^{(-1)}(0)$ de $f(z)$ . Aunque Schröder no acopla directamente su análisis simbólicamente de esta manera, la ecuación 21 del artículo de Schröder es una expansión en serie truncada para $FL(z,t) \; |_{t = -f(z)}$ como se desprende de la comparación con los polinomios de partición de inversión composicional de OEIS A134685 . Alexander, en la página 10 de su libro A History of Complex Dynamics, mencionado en los comentarios a la pregunta, muestra la ecuación 21 de Schröder como ecuación 1.6. En la discusión del posterior artículo de Schröder de 1871 "Ueber iterite Functionen", Alexander muestra $FL(z,t)=f^{(-1)}[t+f(z)]$ (notación mod) y su iterado funcional en la p. 14.
Para IFC, la intuición de Schröder es más o menos la siguiente;
Dada una función analítica $f(z)$ y su inversa local $f^{(-1)}(\omega)$ para $s$ y $t$ suficientemente pequeña en amplitud, la función de flujo
$$FL(z,t) = f^{(-1)}(f(z)+t)$$
satisface la ecuación de traslación (véase
$$FL(FL(z,s),t) = FL(z,s+t).$$
(Véase la Ecuación de Abel para la relación con las ecuaciones funcionales de Abel, Schröder y Böttcher de función iterada teoría).
En consecuencia, el $n-$ a IFC en $z$ de la función de flujo es
$$FL^{(( n ))}(z,t)=f^{(-1)}(f(z)+(n+1)t) = FL(z,(n+1)t) .$$
La generalización formal obvia para cualquier número complejo $\alpha$ es
$$FL^{(( \alpha ))}(z,t)=f^{(-1)}(f(z)+(\alpha+1) t)= FL(z,(\alpha+1) t) .$$
La función analítica de flujo $FL(z,t)$ puede generarse por el op. de Graves-Lie como
$$e^{t g(z)\partial_z} \; z = f^{(-1)}(f(z)+t) =FL(z,t),$$
donde $g(z) = \frac{1}{f'(z)} = \frac{1}{\partial_z f(z)}.$
En este caso, se puede considerar un iterado complejo como una traslación (flujo) en el plano complejo o una exponenciación compleja de la op $e^{g(z)\partial_z}$ .
El p.d.e. de evolución asociado, codificando el vector tangente al campo, es
$$\partial_t FL(z,t) = g(z)\partial_z FL(z,t),$$
y todos los aparatos para tratar los campos de flujo pueden aplicarse al problema. (Enlaces y notas al respecto en OEIS A145271 y A139605 .)
El o.d.e. autónomo asociado es
$$ \partial_z \;f^{(-1)}(z) = g(f^{(-1)}(z)),$$
que proporciona un enlace a la función beta del grupo de renormalización flujo.
Algunos árbitros más:
"A survey of the theory of functional equations" de Kuczma, Ecn. 111 en pág. 35.
"A survey on the hypertranscendence of the solutions of the Schröder's, Böttcher's and Abel's equations" por Gwladys Fernandes, ecn. 11 en p. 5.
"Aspectos variacionales de las ecuaciones funcionales de Abel y Schroeder", por McKiernan.
"Algunas ecuaciones diferenciales relacionadas con la teoría de la iteración", de Azcel y Gronau.
Otro lógico, Frege, también consideró el enfoque del generador infinitesimal. Véase "Gottlob Frege, un pionero de la iteración", de Granau.
"Eri Jabotinsky, matemático y político: breve biografía", por Gronau.
"Iteración analítica" de Jabotinsky.
"Sobre la iteración analítica" de Erdos y Jabotinsky.
Edición, 6 de marzo de 2022:
Leyendo la respuesta de Anixx a la pregunta enlazada, me doy cuenta de que no he abordado directamente una iteración compleja del modo en que él lo ha hecho; sin embargo, hay una conexión puramente formal de mi respuesta con la suya.
Considera la interpolación Newton-Gregory de los CFI enteros positivos de una función. En mi caso, esto equivale formalmente a
$$\sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^n \binom{\alpha}{n} \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} FL(z,k)$$
$$ = \sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^n \binom{\alpha}{n} \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k}e^{kg(z)\partial_z}\; z$$
$$ = (1-(1-e^{g(z)\partial_z})^{\alpha} \; z =e^{\alpha g(z)\partial_z} \; z = FL(z,\alpha). $$
Esto también está íntimamente relacionado con la interpolación formal por transformada de Mellin
$$\int_0^{\infty} \sum_{n \geq 0} (-1)^n FL(z,n) \frac{u^n}{n!} \frac{u^{s-1}}{{(s-1)}!} du $$
$$ = \int_0^{\infty} \sum_{n \geq 0} (-1)^n e^{ng(z)\partial_z} \frac{u^n}{n!} \frac{u^{s-1}}{{(s-1)}!} du \; z$$
$$ = \int_0^{\infty} e^{-ue^{g(z)\partial_z} } \frac{u^{s-1}}{{(s-1)}!} du \; z = (e^{g(z)\partial_z})^{-s} \; z = e^{-sg(z)\partial_z}z = FL(z,-s)$$
$$ = \int_0^{\infty} e^{-u} e^{(1-e^{g(z)\partial_z)} u} \frac{u^{s-1}}{{(s-1)}!} du \; z$$
$$ = \sum_{n\ge 0} \binom{n+s-1}{s-1}(1-e^{g(z)\partial_z})^n \; z$$
$$= \sum_{n= 0}^{\infty} (-1)^n\binom{-s}{n}\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k}e^{kg(z)\partial_z} \; z = e^{-sg(z)\partial_z}z .$$
Elegir $e^{-sg(z)\partial_z}z=FL(z,-s)$ para amplitud/módulo pequeño $s$ y luego continuar analíticamente hasta $|s|$ proporciona una interpretación, o método de suma, para las maniobras formales anteriores.
En respuesta al comentario de Gottfried Helms:
Como he mostrado en numerosos MO-Q&A, por ejemplo, este MO_A , éste y éste por puntos $(\omega,z)$ para lo cual $\omega = f(z)$ y $z = f^{(-1)}(\omega)$ ,
$$e^{t g(z) \partial_z} \; z = \exp[t \frac{\partial}{\partial f(z)}] \; z = \exp[t \frac{\partial}{\partial \omega}] \; f^{(-1)}(\omega) $$
$$ =f^{(-1)}(\omega+t) = f^{(-1)}(f(z)+t)= FL(z,t),$$
y podemos ver que esto es equivalente a una expansión en serie de Taylor, que es el enfoque que adoptaron Schroeder y, como él reconoce, Theremin antes que él. Hay que tener cuidado de que $t$ es lo suficientemente pequeño como para que $\omega+t$ permanece dentro del disco de analiticidad sobre $\omega$ .
Analice $t$ en $u+v=t$ para lo cual $\omega+u$ y $\omega+u+v$ se encuentran en el disco de analiticidad de $f^{(-1)}$ . Entonces
$$FL(z,t) = e^{t g(z) \partial_z} \; z = e^{vg(z) \partial_z} e^{ug(z) \partial_z}\; z$$
$$=\exp[v \frac{\partial}{\partial \omega}] \exp[u \frac{\partial}{\partial \omega}] \; f^{(-1)}(\omega) $$
$$=\exp[v \frac{\partial}{\partial \omega}] f^{(-1)}(\omega+u) =f^{(-1)}(\omega+u+v) $$
$$= f^{(-1)}(f(z)+u+v) = FL(z, u+v).$$
Reformular los pasos intermedios,
$$FL(z,t) = e^{t g(z) \partial_z} \; z = e^{vg(z) \partial_z} e^{ug(z) \partial_z}\; z$$
$$=\exp[v \frac{\partial}{\partial \omega}] \exp[u \frac{\partial}{\partial \omega}] \; f^{(-1)}(\omega) $$
$$=\exp[v \frac{\partial}{\partial \omega}] f^{(-1)}(\omega+u)= e^{vg(z) \partial_z} f^{(-1)}(f(z)+u) =e^{vg(z) \partial_z} FL(z,u) $$
$$ =f^{(-1)}[f[f^{(-1)}(f(z)+v)]+u] = FL(f^{(-1)}(f(z)+v),u)= FL(FL(z,v),u) $$
$$= f^{(-1)}(f(z)+v+u) = FL(z, v+u).$$
Por la sustitución y reducción en las primeras igualdades de las líneas cuarta y quinta, es decir,
$f[f^{(-1)}(f(z)+v)] = f(z)+v = \omega +v,$
para que sea válido, o bien $\omega +v$ tiene que estar en el dominio de $f^{(-1)}$ tal que siga siendo la inversa local de $f$ o $f^{(-1)}$ como expresión analítica debe continuarse analíticamente hasta la inversa local en ese punto.
Un ejemplo:
Para $m \neq 0$ con $\omega=\frac{z^{-m}}{m}=f(z)$ y $z=(m \cdot \omega)^{\frac{-1}{m}}=f^{(-1)}(\omega)$ la correspondencia exponencial da
$\exp[-t\cdot z^{m+1}\frac{\partial }{\partial z}] z=\exp[t\cdot \frac{\partial }{\partial \omega}](m \cdot \omega)^{\frac{-1}{m}}=(m \cdot (\omega+t))^{\frac{-1}{m}}=\frac{z}{(1+\ m \cdot t \cdot z^m)^{\frac{1}{m}}} =FL_m(z,t).$
Nota sobre la sustitución directa, $FL_{m}(FL_{m}(z,s),t)=FL_{m}(z,s+t)$ para cualquier $s$ y $t$ para $|z|$ lo suficientemente pequeño independientemente de la derivación de $FL_m(z,t)$ . (Esto se cumple en el caso límite para $m \to 0$ también).
Edición 3/10/22:
Consideremos las transformaciones básicas de Möbius, o fraccionarias lineales:
1) Traducción
Con $f(z) = z$ entonces $f^{(-1)}(z)=z$ y
$$FL(z,t) = f^{(-1)}(f(z)+t) = z+t $$
con
$$FL(FL(z,s),t) = z+t \; |_{z \to z+s} = z+s+t = FL(z,s+t).$$
Autocomposición en $z$ de $h(z) = FL(z,t)$ una vez da
$$h^{((1))}(z) = h(h(z)) = FL(FL(z,t),t) = ((z+t) +t) = z+2t = FL(z,2t).$$
Entonces iterando $n=1,2,...$ veces,
$$h^{((n))}(z) = FL(FL(FL(...,t),t),t) = ((z+t)+ t \cdots +t) = z +(n+1)t = FL(z,(n+1)t).$$
En general, para cualquier $\alpha$ defina el iterado complejo como
$$h^{((\alpha))}(z) = FL(FL(z,\alpha t),t) = FL(z, (\alpha +1) t) = z + (\alpha +1) t.$$
Desde la perspectiva de los IG de la mentira, coherentemente, $g(z)= 1/f'(z) = 1$ y, para $t$ cualquier número complejo,
$$e^{t g(z) \partial_z}\; z =e^{t \partial_z}\; z = z+t = f^{(-1)}(f(z)+t) = FL(z,t).$$
Para $u$ y $v$ cualquier número complejo,
$$e^{v g(z) \partial_z} \; e^{u g(z) \partial_z}\; z =e^{v \partial_z}\; (z+u) = z+u+v = e^{v \partial_z}\; FL(z,u) = FL(FL(z,v),u) = FL(z,u+v).$$
2) Dilatación
Con $f(z) = \ln(z)$ entonces $f^{(-1)}(z) = e^z$ y
$$FL(z,t) = f^{(-1)}(f(z)+t) = e^{\ln(z)+t} = e^t\; z $$
con
$$FL(FL(z,s),t) = e^t z \; |_{z \to e^s z} = e^t e^s z = e^{t+s} z = FL(z,s+t).$$
Autocomposición una vez de $h(z) = FL(z,t)$ da
$$h^{((1))}(z) = h(h(z)) = FL(FL(z,t),t) = e^t (e^t z) = e^{2t} z = FL(z,t+t).$$
Entonces iterando $n=1,2,...$ veces,
$$h^{((n))}(z) = e^t (e^t (...e^t z) = e^{(n+1)t} z =FL(FL(z,nt),t) =FL(z,(n+1)t).$$
En general, para cualquier $\alpha$ definir
$$h^{((\alpha))}(z) = FL(FL(z,\alpha t),t) = FL(z, (\alpha +1) t) = e^{(\alpha + 1)t}\; z.$$
Constantemente, $g(z) = 1/f'(z) = z$ y
$$e^{tg(z)\partial_z} \; z = e^{tz\partial_z} \;z = \sum_{n\ge 0}\; \frac{t^n}{n!} (z\partial_z)^n \:z = e^t \; z = FL(z,t). $$
Para $u$ y $v$ cualquier número complejo,
$$e^{v g(z) \partial_z} \; e^{u g(z) \partial_z}\; z =e^{v z\partial_z}\; e^u z = e^u e^v z = e^{u+v} z$$
$$ = e^{v \partial_z}\; FL(z,u) = FL(FL(z,v),u) = FL(z,u+v).$$
3) Transformación lineal fraccionaria especial
Con $f(z) = \frac{1}{z}$ entonces $f^{(-1)}(z) = \frac{1}{z}$ y
$$FL(z,t) = f^{(-1)}(f(z)+t) = \frac{1}{z} \; |_{z \to f(z)+t = \frac{1+tz}{z}} = \frac{z}{1+tz} $$
con
$$FL(FL(z,s),t) = \frac{z}{1+tz} \; |_{z \to \frac{z}{1+sz}} = \frac{z}{1+(s+t)z} = FL(z,s+t).$$
Una autocomposición funcional de $h(z) = FL(z,t)$ da
$$h^{((1))}(z) = h(h(z)) = FL(FL(z,t),t) = \frac{z}{1+(t+t)z} = FL(z,t+t).$$
Entonces iterando $n=1,2,...$ veces,
$$h^{((n))}(z) = \frac{z}{1+(n+1)tz} =FL(FL(z,nt),t) =FL(z,(n+1)t).$$
En general, para cualquier $\alpha$ defina
$$h^{((\alpha))}(z) = FL(FL(z,\alpha t),t) = FL(z, (\alpha +1) t) = \frac{z}{1+(\alpha +1)tz}.$$
Constantemente, $g(z) = 1/f'(z) = -z^2$ y, para $|tz| < 1$ ,
$$e^{tg(z)\partial_z} \; z = e^{-tz^2\partial_z} \;z = \sum_{n\ge 0}\; \frac{t^n}{n!} (-z^2\partial_z)^n \;z = \sum_{n\ge 0}\; (-tz)^n\; z = \frac{z}{1+tz} = FL(z,t). $$
Con $\alpha= u+v$ para $u$ y $v$ cualquier número complejo, $|uz|<1$ y $|\frac{uz}{1+vz}|<1$ ,
$$e^{\alpha g(z) \partial_z}\; z = e^{v g(z) \partial_z} \; e^{u g(z) \partial_z}\; z =e^{-v z^2\partial_z}\; \frac{z}{1+uz}$$
$$ = e^{-v z^2\partial_z}\; \sum_{n\ge 0}\; (-uz)^n\; z =\sum_{n\ge 0}\; (-u)^n\; \sum_{k\ge 0}\; (-v)^k \frac{(n+k)!}{n!} z^{n+k+1} $$
$$ = \sum_{n\ge 0}\; (-u)^n\; (\frac{z}{1+vz})^{n+1} = \frac{\frac{z}{1+vz}}{1+\frac{uz}{1+vz}}= \frac{z}{1+(u+v)z}$$
$$ = e^{-vz^2 \partial_z}\; FL(z,u) = FL(FL(z,v),u) = FL(z,u+v) = FL(z,\alpha) .$$
En el Anexo VIII de " Ecuaciones funcionales del grupo de renormalización "Curtright y Zachos discuten la relación entre estas ecuaciones de difusión (Ecuación 90 en C & S) y la ecuación de conjugación funcional de Schröder de la teoría de funciones iteradas. En su introducción, afirman que el grupo de renormalización de Gell-Mann y Low y de Stueckelberg y Petermann tiene una elegante expresión matemática en términos de los métodos de conjugación funcional de Schröder.
