R es un anillo conmutativo con 1, I es un ideal de R. Consideremos la proyección canónica f: R a R/I. Supongamos que p es un ideal primo de R, ¿entonces f(p) es siempre primo? Creo que si ab+I $\in$ f(P) con ab $\in$ p, por tanto a o b $\in$ p, por lo que a+I o b+I $\in$ f(p). ¿Es una prueba correcta? Creo que puede haber un problema, porque los ideales primos de R/I están en biyección con los ideales primos de R que contienen a I.
Respuesta
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Efectivamente, hay un problema y usted parece tener la intuición adecuada para saber dónde está. Por ejemplo, veamos la proyección canónica $\pi\colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ . Entonces $(3) \subset \mathbb{Z}$ es un ideal primo, pero $\pi((3)) = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ no es un ideal primo. (Obsérvese que $(3)$ es un ideal primo que no contiene al ideal factorizado).
El ejemplo demuestra que tu prueba debe ser errónea. De hecho, el error está en el primer paso: de $ab + I \in f(p)$ no se deduce en general que $ab \in p$ .
