¿Cómo puedo demostrar que $x^2+8y^2$ no representa adecuadamente el 3?

Question

A mí me parece obvio que la forma cuadrática binaria $x^2+8y^2$ no representa correctamente 3. Sin embargo, he conseguido demostrar que sí lo hace, así que creo que debo estar haciendo alguna tontería. He utilizado lo siguiente:

Sea f una forma cuadrática binaria y n un número entero. Decimos que f representa adecuadamente n si existe [x,y] $\mathbb Z^2$ tal que (x,y)=1 y f(x,y)=n. (x,y) se define como el máximo común divisor de x e y.

Lemma 5.3 (iii) Alguna forma de discriminante d representa adecuadamente a n si y sólo si $u^2\equiv d\pmod {4n}$

Entonces aquí está mi "prueba":

Sea $f(x,y)=x^2+8y^2$ . Entonces, por el Lemma 5.3(iii), $f(x,y)$ representa correctamente n=3 si y sólo si existe una solución a $u^2\equiv d\pmod{4\cdot3}$

$d=b^2-4ac=0^2-4\cdot1\cdot8=-32$ así que

$u^2\equiv -32\pmod{12}$ que nos da

$u^2\equiv 4\pmod{12}$

que tiene claramente la solución $u=2$ así que $f(x,y)$ representa adecuadamente n=3.

Sé que esto está mal y es muy probable que esté mal por una razón estúpida, pero no puedo averiguar cuál es, así que cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

Lema $5.3$ se entiende de la siguiente manera:

Teorema : Sea $n > 0$ y $d$ sean números enteros. En existe a forma cuadrática binaria de discriminante $d$ que representa $n$ correctamente si y sólo si la congruencia $x^2\equiv d\bmod 4d$ tiene solución.

Así que sólo sabemos que hay existe una forma cuadrática binaria $f(x,y)$ con discriminante $d=-32$ representando a $n=3$ correctamente. Ciertamente no es $x^2+8y^2$ .

Answer 2

Como dije en un comentario: una prueba de que $x^2 + 8 y^2$ no representa el primo $3$ es que $3x^2 + 2xy + 3 y^2$ representa $3,$ y estas dos formas no son ni $SL_2 \mathbb Z$ equivalentes ni son "opuestos". En conjunto, podríamos decir que son $GL_2 \mathbb Z$ distinto.

Probablemente tengas acceso a tablas para discriminantes negativos pequeños; aquí tienes mi propia lista. El género principal sólo tiene una forma (clase de) $x^2 + 8 y^2.$ La forma que representa $3$ pertenece a un género diferente, $3 x^2 + 2 xy + 3 y^2.$ Por ejemplo, independientemente de la elección de los números enteros $x,y$ nunca hemos $x^2 + 8 y^2 \equiv 3 \pmod 8.$

jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$ ./classGroup
Absolute value of discriminant? 
32
Impr 2 0 4
Discr  -32 = 2^5  class  number  2

 all  
      32:  < 1, 0, 8>    Square        32:  < 1, 0, 8>
      32:  < 3, 2, 3>    Square        32:  < 1, 0, 8>

 squares  
      32:  < 1, 0, 8>

 fourths  
      32:  < 1, 0, 8>

Discriminant        -32     h :    2     Squares :    1     Fourths :    1
jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$