Sólo consideraré la situación templada (que implica los espacios $\mathscr{S}$ , $\mathscr{S}'$ y $\mathscr{O}_{\rm M}$ ) y sólo discutiré el primer ejemplo, así como una versión "dual" con una derivada en lugar de una integral que se conmuta con un emparejamiento de distribución. Demostraré que la integración de Riemann (y su dual, es decir, la definición clásica de derivada como límite de un cociente) no sólo es innecesario pero quizás es un crimen contra Laurent Schwartz o más bien contra el espíritu de su teoría de las distribuciones.
Repasemos primero algunas convenciones. Cuando hablamos de una distribución $F\in\mathscr{S}'(\mathbb{R}^n)$ En su lugar diré $F(x)\in\mathscr{S}'_x(\mathbb{R}^n)$ para verla como función generalizada $F(x)$ de una variable $x$ que deben ser nombrados. Este nombre también aparecerá como subíndice en el espacio de funciones correspondiente. En la misma línea, tomemos ahora una función de Schwartz $\phi(x)\in\mathscr{S}_x(\mathbb{R}^n)$ es decir, permítanme tomar un elemento $\phi\in\mathscr{S}(\mathbb{R}^n)$ pero con el énfasis adicional de dar un nombre a la variable, aquí $x$ . No denotaré el emparejamiento de distribuciones por $\langle F,\phi\rangle$ que es rigurosa pero carece de fuerza expresiva, ni por la integral $$ \int_{\mathbb{R}^n}F(x)\phi(x)\ d^nx $$ que no es riguroso, pero tiene el poder expresivo necesario para el "álgebra multilineal" en dimensión infinita. En su lugar, me quedaré con lo mejor de ambos mundos y escribiré $$ \langle F(x),\phi(x)\rangle_{x}\ . $$
Resueltas estas convenciones, puedo afirmar que la variante templada de Teorema de Fubini para distribuciones . Sea $F(x)\in\mathscr{S}'_x(\mathbb{R}^m)$ , dejemos que $G(y)\in\mathscr{S}'_y(\mathbb{R}^n)$ y que $\eta(x,y)\in\mathscr{S}_{x,y}(\mathbb{R}^{m+n})$ . Entonces
a) $\langle G(y),\eta(x,y)\rangle_{y}\in\mathscr{S}_x(\mathbb{R}^m)$ ;
b) $\langle F(x),\eta(x,y)\rangle_{x}\in\mathscr{S}_y(\mathbb{R}^n)$ ;
c) tenemos las igualdades $$ \langle F(x),\langle G(y), \eta(x,y)\rangle_{y}\rangle_{x} =\langle G(y),\langle F(x), \eta(x,y)\rangle_{x}\rangle_{y} =\langle (F\otimes G)(x,y),\eta(x,y)\rangle_{x,y} $$ donde $(F\otimes G)(x,y)$ heurísticamente es la función generalizada $F(x)G(y)$ de la variable compuesta $(x,y)$ en $\mathbb{R}^{m+n}$ .
También se tiene una versión más fuerte del teorema que incluye:
d) El elemento de $\mathscr{S}_{x}(\mathbb{R}^{m})$ construida en a) es una función bilineal hipocontinua de $G$ en $\mathscr{S}'_{y}(\mathbb{R}^{n})$ y $\eta$ en $\mathscr{S}_{x,y}(\mathbb{R}^{m+n})$ . Del mismo modo, el elemento de $\mathscr{S}_{y}(\mathbb{R}^{n})$ construida en b) es una función bilineal hipocontinua de $F$ en $\mathscr{S}'_{x}(\mathbb{R}^{m})$ y $\eta$ en $\mathscr{S}_{x,y}(\mathbb{R}^{m+n})$ .
Ahora bien, el primer ejemplo del OP nos pide que demostremos que para $F$ una distribución templada en $\mathbb{R}^n$ y para $\psi,\phi$ Funciones de Schwartz en $\mathbb{R}^n$ tenemos la identidad $$ \int_{\mathbb{R}^n}\langle F(y),\psi(x-y)\rangle_{y}\ \phi(x)\ d^n x =\langle F(y),(\phi\ast\psi_0)(y)\rangle_{y} $$
Prueba de baja tecnología: Utilizar sumas de Riemann finitas para aproximar la integral, lo que reduce la pregunta a una trivial hecho algebraico es decir, la linealidad.
Prueba de alta tecnología: En mis anotaciones anteriores, la identidad significa $$ \langle 1(x),\langle F(y),\phi(x)\psi(x-y)\rangle_{y}\rangle_x =\langle F(y),\langle 1(x),\phi(x)\psi(x-y)\rangle_{x}\rangle_y $$ donde la extraña notación $1(x)$ es para la función constante de $x$ igual a 1 visto como una distribución templada de la forma habitual (por Lebesgue integrándose en contra). Dado que $\eta(x,y)=\phi(x)\psi(x-y)\in\mathscr{S}_{x,y}(\mathbb{R}^{2n})$ esto es trivial se deduce de la hecho/formula algebraica expresado por el teorema de Fubini distribucional anterior, parte c).
Aunque no está en la pregunta original, permítanme considerar también otro resultado dual "Teorema de Stokes/Teorema Fundamental de Cálculo" que todo el mundo aprende en un curso de EDP con distribuciones, relativo a las circunvoluciones. En el mismo contexto que el anterior, tenemos que $(F\ast\psi)(x)$ es una función suave de crecimiento templado que escribiré como la afirmación $(F\ast\psi)(x)\in\mathscr{O}_{{\rm M},x}(\mathbb{R}^n)$ .
Prueba de baja tecnología: Se utiliza la inducción, a partir de una identidad de conmutación similar, es decir, la derivación bajo el signo de emparejamiento distibucional, para que la derivada alcance la función de prueba dentro del emparejamiento. Normalmente, esto se demuestra mediante tediosas estimaciones de derivadas, etc.
Prueba de alta tecnología: Tome un $\phi(x)\in \mathscr{S}_{x}(\mathbb{R}^{n})$ y considerar $$ \phi(x)(F\ast\psi)(x)=\phi(x) \langle F(y),\psi(x-y)\rangle_{y}=\langle F(y),\phi(x)\psi(x-y)\rangle_{y}\ . $$ De nuevo porque $\eta(x,y)=\phi(x)\psi(x-y)\in\mathscr{S}_{x,y}(\mathbb{R}^{2n})$ , la distributiva Fubini, parte a), con $F$ en lugar de $G$ da que $$ \phi(x)(F\ast\psi)(x)\in \mathscr{S}_{x}(\mathbb{R}^n)\ . $$ Esto es válido para todos los $\phi$ por lo que por la caracterización del espacio multiplicador de $\mathscr{O}_{\rm M}$ tenemos que la convolución es una función templada suave.
Observación 1: Se puede demostrar la identidad intermedia $\partial_z^\alpha (F\ast \psi)(z)=(F\ast\partial^{\alpha}\psi)(z)$ utilizado en la prueba de baja tecnología, con el mismo método anterior sustituyendo $1(x)$ por una derivada de una función delta en $x$ situado en $z$ .
Observación 2: Esto es álgebra pura .
Adenda: El mapa $\mathscr{S}'\times\mathscr{S}\rightarrow\mathscr{O}_{\rm M}$ , $(F,\psi)\mapsto (F\ast \psi)$ es hipocontinuo. Esto se deduce de la parte d) recién añadida más arriba del Teorema de Fubini para distribuciones y de la topología de $\mathscr{O}_{\rm M}$ definidos por las seminormas $||\phi \cdot||$ donde $\phi$ oscila entre $\mathscr{S}$ y $||\cdot||$ abarca los seminormales continuos de $\mathscr{S}$ . Dado que las secuencias convergentes forman conjuntos acotados, esto demuestra que la construcción es conjuntamente secuencial continua.
Obsérvese también que demostrar el Teorema de Fubini para distribuciones (y el Teorema del Núcleo, etc.) es muy fácil, si uno hace lo que los algebristas dicen que nunca se debe hacer: tomar un (Schauder) base por ejemplo, la de las funciones de Hermite. En mi respuesta se dan algunas pistas al respecto
https://math.stackexchange.com/questions/3512357/understanding-the-proof-of-schwartz-kernel-theorem/3512932#3512932
con algunas indicaciones más en
https://math.stackexchange.com/questions/2623515/schwartz-kernel-theorem-and-dual-topologies/2647815#2647815
Por último, para ver aplicaciones más complejas de este tipo de razonamiento con distribuciones, también puedes echar un vistazo a mi reciente artículo "Un teorema de Kolmogorov-Chentsov de segunda cuantificación a través de la expansión del producto de operadores" sobre la multiplicación puntual para distribuciones aleatorias de Schwartz.
