Considere $\mathbb{R}^n$ con el $l^1$ y la norma del operador inducido $\| \cdot \|$ sobre mapas lineales $T: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ . Puede $\|T\|$ caracterizarse de algún modo por el espectro de $T$ (o la de un operador relacionado con $T$ )?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Por $(e_j)_{j=1}^n$ denotamos la base estándar de $\ell_1^n$ . Por $t_{ij}$ la matriz de $T$ en esta base.
Para todos $x\in\ell_1^n$ tenemos $$ \Vert T(x)\Vert_1 =\sum\limits_{i=1}^n\left|\sum_{j=1}^n t_{ij} x_j\right| \leq\sum\limits_{i=1}^n\sum_{j=1}^n |t_{ij}| |x_j| =\sum_{j=1}^n\sum\limits_{i=1}^n |t_{ij}| |x_j| \leq\sum_{j=1}^n|x_j|\sum\limits_{i=1}^n |t_{ij}| \\ \leq\sup_{j\in\{1,\ldots,n\}}\sum\limits_{i=1}^n |t_{ij}| \sum_{j=1}^n|x_j| \leq\left(\sup_{j\in\{1,\ldots,n\}}\sum\limits_{i=1}^n |t_{ij}|\right) \Vert x\Vert_1 $$ Por lo tanto $$ \Vert T\Vert\leq \sup_{j\in\{1,\ldots,n\}}\sum\limits_{i=1}^n |t_{ij}|\tag{2} $$ Por otra parte $\Vert e_j\Vert_1=1$ y $\Vert T(e_j)\Vert_1=\sum\nolimits_{i=1}^n|t_{ij}|$ así que para todos $j\in\{1,\ldots,n\}$ . Así obtenemos $$ \Vert T\Vert \geq\sup_{j\in\{,1,\ldots,n\}}\frac{\Vert T(e_j)\Vert_1}{\Vert e_j\Vert_1} =\sup_{j\in\{,1,\ldots,n\}}\sum\limits_{i=1}^n|t_{ij}|\tag{2} $$ En $(1)$ y $(2)$ obtenemos $$ \Vert T\Vert=\sup_{j\in\{,1,\ldots,n\}}\sum\limits_{i=1}^n|t_{ij}| $$
