Doble Suma infinita de $1/n^2$

Question

Estoy intentando utilizar una identidad que mostramos en nuestros deberes:

$$ \sum_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(n+a)^2} = \frac{\pi^2}{\sin^2(\pi a)} $$

para demostrar que $$ \sum_{1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}.$$

He dividido la primera suma infinita doble en la suma de $-\infty$ à $1$ más el $0^{th}$ más la suma de $1$ à $+\infty$ y luego quiero tomar el límite de $a$ yendo a $0$ .

Esto se traduce en tomar el límite de los siguientes:

$$\lim_{a\to 0} \frac{\pi^2}{\sin^2(\pi a)} - \frac{1}{a^2} .$$

Lo que sé que debería resultar en $\frac{\pi^3}{3}$ de Wolfram Alpha, como deseaba, pero me cuesta mostrarlo analíticamente. Mi idea era tratar de encontrar la expansión de Maclaurien de $\sin^2(\pi a)$ , pero luego llevar esa serie al exponente de 1 negativo ya que está en el denominador está causando problemas. Hay un truco que no estoy viendo o una posible mejor manera de utilizar la propiedad anterior para mostrar la otra suma infinita?

Esta pregunta también es para una clase de análisis complejo, así que ¿quizás haya alguna forma de utilizar series complejas de Laurent o series de potencias?

Answer 1

Sigue tu pensamiento, $$ \lim_{a\to 0}\frac {\pi^2}{\sin^2(\pi a)}-\frac 1{a^2} = \lim_{a\to 0}\frac {a^2\pi^2 - \sin^2(\pi a)}{a^2 \sin^2(\pi a)} = \lim_{a\to 0}\frac {(a\pi - \sin(\pi a))(\pi a + \sin (\pi a))}{a^2 \sin^2(\pi a)} = \lim_{a\to 0}\frac {(a\pi)^3/6 \times 2\pi a}{a^4\pi^2 }= \frac {\pi^2} 3. $$ No obstante, deberá demostrar que $$ \lim_{a\to 0}\sum_{-\infty}^{+\infty} \frac 1{(n+a)^2 } = \sum_{-\infty}^{+\infty} \lim_{a\to 0}\frac 1{(n+a)^2 } = \sum_{-\infty}^{+\infty} \frac 1{n^2}. $$

Answer 2

Ponga $a=\frac12$ ,

$$\sum_{n=-\infty}^\infty \frac1{(n+\frac12)^2}=\sum_{n=-\infty}^\infty \frac4{(2n+1)^2}=\pi^2\implies\sum_{n=-\infty}^\infty \frac1{(2n+1)^2}=\frac{\pi^2}{4}.$$ Aviso $$\sum_{n=-\infty}^\infty \frac1{(2n+1)^2}=\left(\sum_{n=-\infty}^{-1}+\sum_{n=0}^\infty\right)\frac1{(2n+1)^2}= 2\sum_{n=0}^\infty \frac1{(2n+1)^2}=\frac{\pi^2}{4}$$ implica $$\sum_{n=0}^\infty \frac1{(2n+1)^2}=\frac{\pi^2}8.$$

Sea $S=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac 1{n^2}$ por separado $S$ en impar e incluso términos, \begin{align*} \underbrace{\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}}_{=S}&=\sum_{n=0}^\infty \frac1{(2n+1)^2}+\underbrace{\sum_{n=1}^\infty \frac1{(2n)^2}}_{=\frac14 S}\\ S&=\frac{\pi^2}8+\frac 14 S\\ S&=\frac{\pi^2}{6}. \end{align*}

Answer 3

Tu idea de utilizar expansiones de Taylor es buena.

Compongamos la serie en torno a $a=0$ $$\sin(\pi a)=\pi a-\frac{\pi ^3 a^3}{6}+\frac{\pi ^5 a^5}{120}+O\left(a^7\right)$$ $$\sin^2(\pi a)=\pi ^2 a^2-\frac{\pi ^4 a^4}{3}+\frac{2 \pi ^6 a^6}{45}+O\left(a^8\right)$$ $$\frac{\pi^2}{\sin^2(\pi a)}=\frac{\pi^2}{\pi ^2 a^2-\frac{\pi ^4 a^4}{3}+\frac{2 \pi ^6 a^6}{45}+O\left(a^8\right) }=\frac{1}{a^2}+\frac{\pi ^2}{3}+\frac{\pi ^4 a^2}{15}+O\left(a^4\right)$$ $$\frac{\pi^2}{\sin^2(\pi a)} - \frac{1}{a^2} =\frac{\pi ^2}{3}+\frac{\pi ^4 a^2}{15}+O\left(a^4\right)$$ que muestra tanto el límite como la forma de aproximarse a él.

Prueba con $a=\frac 16$ que es "grande". El valor exacto sería $4 \pi ^2-36\approx 3.47842$ mientras que la expansión daría $\frac{\pi ^2}{3}+\frac{\pi ^4}{540}\approx 3.47026$ .