Pregunta límite compleja

Question

1. Calcule $\displaystyle\lim_{x\to\infty} \frac{x^2e^{-4x}+xe^{-3x}}{e^{-2x}+xe^{-3x}}$ .
2. Calcule $\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{x^2e^{x^4}-\sin{(x^2)}}{1-\cos{(x^3)}}$ .

Para la primera pregunta obtuve \begin{equation*} \begin{split} \lim_{x\to\infty} \frac{x^2e^{-4x}+xe^{-3x}}{e^{-2x}+xe^{-3x}} &= \lim_{x\to\infty} \frac{xe^{-3x}\left(xe^{-x}+1\right)}{e^{-2x}\left(xe^{-x}+1\right)} \\ &= \lim_{x\to\infty} \frac{xe^{-3x}}{e^{-2x}} \\ &= \lim_{x\to\infty} \frac{x}{e^x}. \end{split} \end{equation*} Esto tiene una forma indeterminada $\frac{\infty}{\infty}$ . Así que podemos utilizar la regla de L'Hopital para obtener $\lim_{x\to\infty} \frac{x}{e^x} = \lim_{x\to\infty} \frac{1}{e^x} = 0$ .

Para la segunda pregunta he probado la regla de L'Hopital pero no ha funcionado y también he probado a multiplicar por el conjugado $\left(1+\cos{(x^3)}\right)$ . ¡¡¡Cualquier ayuda sería genial!!!

Answer 1

Cerca de $0$ , tienes \begin{align}x^2e^{x^4}-\sin(x^2)&=x^2\left(1+x^4+\frac{x^8}{2!}+\cdots\right)-\left(x^2-\frac{x^6}6+\cdots\right)\\&=\frac76x^6+O(x^7)\end{align} y $$1-\cos(x^3)=\frac{x^6}2+O(x^7)$$ y por lo tanto $$\lim_{x\to0}\frac{x^2e^{x^4}-\sin(x^2)}{1-\cos(x^3)}=\frac{7/6}{1/2}=\frac73.$$