En la página 40 de estas notas es el siguiente ejercicio:
Demostrar que el grupo con generadores $a_1,...,a_n$ y relaciones $[a_i,a_j]=1$ , $i \neq j$ es el abeliano grupo en $a_1,...,a_n$ .
En la página 35 figura la siguiente definición:
En grupo abeliano libre sobre generadores $a_1,...,a_n$ tiene generadores $a_1,...,a_n$ y relaciones $[a_i,a_j]$ , $i \neq j$ .
Estoy un poco desconcertado. ¿Qué hay que demostrar exactamente?
Sólo lo dice al final del ejercicio, pero probablemente se te pida que demuestres la propiedad universal con respecto a grupos abelianos:
Sea $F:=\langle a_1,\dots, a_n\mid [a_i, a_j] =1\rangle$ y que $A$ sea un grupo abeliano arbitrario, con un mapa de evaluación $f:\{a_1,\dots, a_n\} \to A$ .
Tienes que demostrar que existe un homomorfismo único (de grupos abelianos) $\tilde f:F\to A$ tal que $\tilde f(a_i)=f(a_i)$ para cada $i=1,\dots, n$ .
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Estoy de acuerdo. El autor te ha pedido que demuestres algo que es cierto por definición. Hay varias definiciones diferentes y equivalentes de grupos abelianos libres, así que supongo que se les habrá olvidado cuál habían utilizado.