Estoy buscando un ejemplo elemental de una familia $\{M_\alpha\}_\alpha$ del proyectivo $R$ -módulos cuyo producto directo no es proyectivo. El ejemplo más sencillo que conozco es el $\Bbb{Z}$ -módulos, $\Bbb{Z}, \Bbb{Z}, \Bbb{Z}, \cdots$ cuyo producto no es libre y por tanto no es proyectivo (como $\Bbb{Z}$ -) pero este ejemplo utiliza el hecho de que $\Bbb{Z}$ es un anillo hereditario o algo equivalente que (en mi opinión) no es tan elemental. Por lo tanto, agradecería si alguien puede proponer un ejemplo más sencillo me refiero a un ejemplo que requiera lo menos posible de álgebra avanzada.
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kristof
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Algunas observaciones, que se ampliarán más adelante: (1) la primera es que la prueba de que $M = \prod_{i=1}^\infty\mathbb{Z}$ no es libre es elemental, y (2) segundo es que podría ser difícil encontrar ejemplos más simples, al menos si "simple" se refiere a lo simple que es el anillo en sí.
(1) De hecho, aquí hay una prueba que aprendí del libro de Kaplansky "Infinite Abelian Groups": Supongamos que $M$ es gratis. Escoge un primo $p$ . Sea $S\subseteq M$ sea el submódulo de secuencias tal que la potencia de $p$ dividiendo cada término va al infinito. $S$ es un submódulo de $M$ así que también es gratis. Multiplicación por $(p,p^2,p^3,\dots)$ es una inyección $M\hookrightarrow S$ . Desde $M$ es incontablemente generado por lo que es $S$ .
Ahora, por definición de $S$ tenemos que $S/pS$ es un espacio vectorial de dimensión contable sobre $\mathbb{Z}/p$ como cada término aquí como un representante con un número finito de términos. Sin embargo, si $S$ es libre e incontablemente generado entonces $S/pS$ debe tener una dimensión incontable sobre $\mathbb{Z}/p$ .
(2) Tengo la sensación de que será difícil encontrar ejemplos "más fáciles". He aquí algunas razones:
Tenga en cuenta que si quiere intentar encontrar un ejemplo, sólo debe experimentar con los productos del anillo $R$ en sí mismo. De hecho, S. Chase demostró que cualquier producto de proyectivos siendo proyectivo es equivalente a cualquier producto arbitrario de copias de $R$ es proyectiva. (Ejemplos como $\mathbb{Z}/4$ tampoco funcionarán, ya que satisfacen la condición de cadena descendente en los ideales y todos los ideales f.g. están finitamente relacionados. Cualquier ejemplo que se busque en un anillo no puede tener estas propiedades).
Además, homológicamente $\mathbb{Z}$ (y los PID que no son campos) son bastante sencillos en el sentido de que tienen dimensión global uno y son conmutativos. Los anillos de dimensión global cero no servirán porque son semisimples y por tanto cuasifrobénicos, o lo que es lo mismo, los proyectivos y los injectivos coinciden. Así que en este caso un producto de proyectivos es un producto de injetivos, por tanto inyectivo, por tanto proyectivo.
Sin embargo, me interesaría ver un ejemplo en el que el anillo sea más complicado pero la prueba sea aún más sencilla. De hecho, me interesaría ver cualquier ejemplo con una prueba significativamente diferente a la anterior.
