Ecuaciones en notación Landau/ Big O

Question

$\underbrace{x^2 +x + O(\epsilon^2) = 0}_{\mathrm{equation \ 1}} \implies \underbrace{x^2 + x = O(\epsilon^2)}_{\mathrm{equation \ 2}}$

Me preguntan por qué no es necesario escribir $-O(\epsilon^2)$ para la segunda ecuación. Lo único que se me ocurre es "Porque transmite la misma información", pero para responder adecuadamente, me gustaría aclararlo.

Sé que si $f(\epsilon) = O(g(\epsilon))$ entonces f es asintóticamente pequeña a algún múltiplo constante de g en el límite $\epsilon \to \infty$ . También el " $=$ " es abuso de notación, por lo que lo leo como "es", por lo que "f es grande Oh de g", como " $=$ " no se utiliza como notación simétrica.

• qué se entiende por $+O(\epsilon^2)$ en la ecuación 1, porque en la práctica asumo que es un indicador de ignorar términos de orden $\epsilon^2$ y superior, pero ¿cómo se explica en términos de la ecuación? Para la ecuación 2 puedo leerla como $x^2+x$ es asintóticamente pequeño en comparación con $A\epsilon^2$ en el límite $\epsilon \to 0$ pero mi incapacidad para "leer" la ecuación 1 significa que no puedo responder suficientemente a la pregunta.

Answer 1

Como bien has dicho, $O(f(x))$ es toda una clase de funciones, y A = O(B) en realidad significa A \in O(B) . Así que en realidad tus primeras ecuaciones dicen $-(x^2+x) \in O(\epsilon^2)$ .

Pero esto implica $x^2 + x \in O(\epsilon^2)$ y por lo tanto $x^2 + x = O(\epsilon ^2)$ .

Answer 2

Como lo que dijo @flawr:

De hecho $O(\epsilon^n)$ muestra el error, el positivo y el negativo. Así que no es necesario escribir $-O(\epsilon^n)$ , excepto en una condición específica en la que sabes que tu error es siempre positivo (o negativo), es decir, te aseguras de que no cambie de signo. En ese caso puedes escribir $O^+(\epsilon^n)$ (o $O^-(\epsilon^n)$ ), y en ese caso en realidad debe escribir $-O^+(\epsilon^n)$ (o $-O^-(\epsilon^n)$ ) en el otro lado de la ecuación. Ésos ocurren a menudo cuando usted trata de funciones monótonas.