Halla el valor mínimo de n tal que el límite dado sea 0.

Question

Supongamos que $\phi_1$ y $\phi_2$ son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial $$2x^2y''-(x+x^2)y'+(x^2-2)y=0,$$ y $\phi_1(0)=0$ . Entonces el menor número entero positivo $n$ tal que $$\lim_{x\to 0}x^n\frac{\phi_2(x)}{\phi_1(x)}=0\ \text{is}$$

Intento: He empezado calculando la Wronskiana mediante la fórmula de Abel según la cual $$W(\phi_1, \phi_2)(x)=W(\phi_1, \phi_2)(0)e^{\int\frac{-(x+x^2)\, dx}{2x^2}} = W(\phi_1, \phi_2)(0) \sqrt{x}e^{-\frac{x}{2}}.$$ Además, puesto que $\phi_1$ y $\phi_2$ son linealmente independientes, su Wronskiano debe ser distinto de cero, pero $W(\phi_1, \phi_2)(0)=0$ . Estoy confundido. Por favor, dígame cómo proceder.

Answer 1

Desde $\phi_1(x)$ es una solución, se tiene $$ 2x^2\phi_1''-(x+x^2)\phi_1'+(x^2-2)\phi_1=0. \tag{1}$$ Dividiendo (1) por $x$ da $$ 2x\phi_1''(x)-(1+x)\phi_1'(x)+(x^2-2)\frac{\phi_1(x)}{x}=0. $$ Utilizando $\phi_1(0)=0$ y $\lim_{x\to0}\frac{\phi_1(x)}{x}=\phi_1'(0)$ y dejando $x\to0$ se obtiene $$ -3\phi_1'(0)=0,\text{ or }\phi'_1(0)=0. $$ Así $\phi_1(x)=ax^2+O(x^3)$ . Defina $k(x)=\frac{\phi_2(x)}{\phi_1(x)}$ y luego $\phi_2(x)=k(x)\phi_1(x)$ . Desde $\phi_2(x)$ es una solución, se tiene $$ 2 x^2 \left(\phi _1(x) k''(x)+2 k'(x) \phi _1'(x)+k(x) \phi _1''(x)\right)+\left(x^2-2\right) k(x) \phi _1(x)=x (x+1) \left(\phi _1(x) k'(x)+k(x) \phi _1'(x)\right). $$ Utilizando (1) se obtiene $$ \phi _1(x) \left((x+1) k'(x)-2 x k''(x)\right)-4 x k'(x) \phi _1'(x)=0. $$ Así que $$ \frac{k''(x)}{k'(x)}=\frac{(1+x)\phi_1(x)-4x\phi_1'(x)}{2x\phi_1(x)}=\frac12(1+\frac1x-4\frac{\phi_1'(x)}{\phi_1(x)}) $$ que da $$ \ln(k'(x))=\frac12(x+\ln x-4\ln\phi_1(x))+c. $$ Así que $$ k'(x)=\frac{ce^{x/2}\sqrt x}{\phi_1^2(x)}\approx C_2x^{-7/2} $$ que da $$ k(x)\approx C_1+ C_2x^{-5/2}. $$ Así $$ \lim_{x\to0}x^nk(x)=\lim_{x\to0}C_2x^{n-5/2}=0 $$ implica que el número entero más pequeño es $n=3$ .