cómo demostrar que una función es biyección

Question

He tomado dos números $p$ y $r$ donde $p,r\in A = \{0,1,\ldots,4i + 1\}$ donde $i\geq 1$ y $q\in B = \{0,1,\ldots,n-1\}$ . Sea $X$ contiene todos los elementos obtenidos por producto cartesiano de $A$ y $B$ . He definido $G = \{(p,q) : p+q ~is~ even\}$ y $H = X\backslash G$ . Definimos una función $f : G \longrightarrow H$ por $f(p,q) = (r,q)$ donde \begin{eqnarray*} r = \begin{cases} p+1 & \text{if $p\leq m-2$}\\ 0 & \text{if $p = m-1$} \end{cases} \end{eqnarray*} donde $m = 4i +2$ .

Intento demostrar que este $f$ es biyección. Para demostrar uno-uno, tengo que demostrar $f(p_1,q) = f(p_2,q)$ $\Leftrightarrow$ $(p_1,q) = (p_2,q)$ . ahora $f(p_1,q) = f(p_2,q)$ . Si $p_1$ y $p_2$ ambos $\leq m -2 $ entonces $f(p_1,q) = f(p_2,q)$ $\Rightarrow$ $(p_1 +1,q) = (p_2 +1,q)$ $\Rightarrow$ $p_1 = p_2$ y así $(p_1,q) = (p_2,q)$ . Si $p_1$ y $p_2$ ambos = $m-1$ entonces $f(p_1,q) = f(p_2,q)$ $\Rightarrow$ $(0,q) = (0,q)$ y esto implica que tanto $p_1$ y $p_2$ son $0$ . Así $(p_1,q) = (p_2,q)$ . De nuevo si exactamente uno de ellos es igual a $m-1$ (decir $p_1$ ) y otra es $\leq m-1$ entonces $f(p_1,q) = f(p_2,q)$ $\Rightarrow$ $(0,q) = (p_2 +1,q)$ lo que implica que $p_2 = -1$ . No es posible. Así que este caso no se plantea. No soy capaz de probarlo. ¿Es mi prueba para demostrar uno-uno es correcta? Por favor, rectifíqueme si estoy haciendo mal en alguna parte.

Answer 1

En realidad, para demostrar que $f$ es inyectiva, hay que demostrar que $f(p_1,q_1)=f(p_2,q_2)$ implica $(p_1,q_1)=(p_2,q_2)$ . Pero como $f(p,q)=(r,q)$ esto implica inmediatamente $q_1=q_2$ . El resto del argumento que diste demuestra que $p_1=p_2$ Así pues $(p_1,q_1)=(p_2,q_2)$ .

Para la subjetividad, sea $(r,q)\in H$ . Vamos a encontrar $p$ tal que $(p,q)\in G$ y $f(p,q)=(r,q)$ . Tenemos dos casos:

1. $r=0$ . En este caso, dejemos que $p=m-1$ . Desde $(r,q)\in H$ entonces $r+q=q$ es impar, así que $m-1+q=4i+1+q$ es par, es decir, $(p,q)\in G$ . Claramente, $f(p,q)=(r,q)$ .

2. $r\neq 0$ . En este caso, dejemos que $p=r-1$ . Obsérvese que, puesto que $(r,q)\in H$ entonces $r+q$ es impar, así que $p+q$ es par, es decir, $(p,q)\in G$ . También, $p=r-1\leq 4i=m-2$ Así que $f(p,q)=(p+1,q)=(r,q)$ por definición de $f$ .

En cualquier caso, $(r,q)$ es a imagen de $f$ Por lo tanto $f$ es suryectiva.

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Para comprender lo que $f$ observe que, puesto que $f$ fija la segunda coordenada, basta con analizar las "restricciones" $f_q(p)=f(p,q)$ donde $f_q$ se define para $p$ tal que $(p,q)\in G$ .

Dado un $p$ el conjunto $A$ tiene una cantidad par de números consecutivos $0,1,\ldots,4i+1$ por lo que podemos dividir $A$ en dos juegos, $A_0=\left\{0,2,\ldots,4i\right\}$ y $A_1=\left\{1,3,\ldots,4i+1\right\}$ uno con los elementos que cuando se suman a $q$ dan un resultado par y el otro formado por los elementos que dan resultados Impares. Ambos $A_0$ y $A_1$ tienen 2i elementos, y una simple biyección desde $A_i$ à $A_{1-i}$ se da de la siguiente manera: "tomar el mayor elemento de $A_i$ y enviar al menor elemento de $A_{1-i}$ . Tome los demás elementos de $A_i$ y añada $1$ obteniendo así los demás elementos de $A_{1-i}$ ".

Eso es exactamente lo que $f_q$ hace. Así que cada $f_q$ es una biyección, por lo tanto $f$ es una biyección.