¿Qué clases me faltan en la red de Picard de una superficie K3 de Kummer?

Question

Construcción del Kummer K3 de una superficie abeliana $A$ tenemos una colección obvia de 22 dimensiones de clases en $H^2(K3, \mathbb{Z})$ dadas por las 16 (-2)-curvas (que por construcción no se intersecan entre sí), y el pushforward-and-pullback de las seis clases que generan $H^2(A, \mathbb{Z})$ . Sin embargo, está claro que no son todas las clases que necesito encontrar; en primer lugar, la forma de intersección es incorrecta: no es unimodular.

En segundo lugar, hay otras clases que pueden construirse geométricamente y que faltan; por ejemplo, puesto que $\sum_{i=1}^{16} E_i$ la suma de los divisores excepcionales, es el lugar de rama de una cubierta 2-1 de K3, debe ser divisible por dos, lo que mi descripción ingenua pasa por alto.

En última instancia lo que espero hacer es producir una función generadora que sume sobre todas las clases de curvas efectivas en el K3 (con coeficientes determinados por algunas GW-invariantes), pero como ya se ha dicho, me faltan algunas clases cuya descripción desconozco. He estado buscando en Barth, Peters, Van de Ven, y la mejor afirmación que encuentro es la Proposición VIII 3.7:

El conjunto de clases efectivas en una superficie K3 de Kahler es el semigrupo generado por las clases nodales y los puntos integrales en el cierre del cono positivo.

Dicho esto, ¿hay alguna descripción concreta de los mismos en alguna parte?

Answer 1

La red $L_{K3}=H^2(K3,\mathbb Z)$ es $2E_8+3U$ con $E_8$ negativo definido y $U$ la red hiperbólica para la forma bilineal $xy$ . Es unimodular y tiene firma $(3,19)$ .

Las 16 (-2)-curvas $E_i$ forman una subred $16A_1$ del determinante $2^{16}$ . No es primitivo en $L_{K3}$ . La red primitiva $K$ que lo contiene se calcula del siguiente modo. Consideremos una combinación lineal $F=\frac12\sum a_i E_i$ con $a_i=0,1$ . Recordemos que $E_i$ están etiquetados por los puntos de 2 torsión del toroide $A$ es decir, los elementos del grupo $A[2]$ .

Entonces $F$ está en $K$ $\iff$ la función $a:A[2]\to \mathbb F_2$ , $i\mapsto a_i$ es afino-lineal. Encontrarás la prueba de esta afirmación en Barth-(Hulek-)Peters-van de Ven "Superficies complejas compactas", VIII.5. (El elemento $\frac12\sum E_i$ en tu ejemplo corresponde a la función constante 1, que es lineal afín). Por lo tanto, $K$ tiene índice $2^5$ en $16A_1$ y su determinante es $2^{16}/(2^5)^2=2^6$ .

$K$ se denomina Entramado de Kummer . Por lo anterior, es una red concreta negativa-definida de rango 16 con determinante $2^6$ . Nikulin demostró que una superficie K3 es una superficie Kummer si $Pic(X)$ contiene $K$ .

El complemento ortogonal $K^{\perp}$ de $K$ en $L_{K3}$ es $H^2(A,\mathbb Z)$ pero con la forma de intersección multiplicada por 2. Como retículo, es isomorfo a $3U(2)$ . Tiene determinante $2^6$ lo mismo que $K$ . La red $L_{K3}=H^2(K3,\mathbb Z)$ se recupera a partir de los sumandos ortogonales primitivos $K$ y $K^{\perp}$ .

Sin embargo, en el título de su pregunta figura "red de Picard". El grupo de Picard de $X$ es estrictamente menor que $H^2(X,\mathbb Z)$ . Para empezar, tiene firma $(1,r-1)$ no $(3,19)$ . Para una superficie de Kummer, contiene la red de Kummer $K$ descrito anteriormente, y su intersección con $K^{\perp}$ es la imagen del grupo de Picard de $A$ . Para una superficie de Kummer se tiene $r=17,18,19$ o 20.

Para el cono de Mori-Kleiman de curvas efectivas, que necesitarías para la teoría de Gromov-Witten, la descripción que pones en una caja ya es la mejor posible.

Answer 2

• Si quiere superficies Kummer completamente diseccionadas, mire en La superficie cuártica de Kummer, por R.W.H.T. Hudson. En concreto, los capítulos XIII y XIV.

• A veces, lo más fácil es proyectar la superficie de Kummer (que sale naturalmente en P 3 ) de uno de los nodos a P 2 . El cono tangente al nodo se proyecta a una cuádrica, las 6 rectas que pasan por el nodo se proyectan a 6 rectas tangentes a la cuádrica - son los lugares de ramificación de la proyección. Los otros 15 nodos se proyectan a los 15 puntos de intersección de las 6 rectas. Para que una curva se eleve a la superficie de Kummer tiene que intersecar con multiplicidad par el lugar de ramificación en todos los puntos de intersección.