¿Cuándo un producto de curvas elípticas es isógeno al jacobiano de una curva hiperelíptica?

Question

La pregunta de David Familias de curvas de género 2 con jacobianos de rango positivo me ha recordado una pregunta que en su día me interesó mucho: ¿cuándo un producto de curvas elípticas es isógeno al jacobiano de una curva hiperelíptica?

¿Qué relación tiene esto con la pregunta de David? Bueno, si podemos multiplicar dos curvas elípticas sobre $\mathbb{Q}(t)$ con rango grande, y el resultado es isógeno al jacobiano de una curva hiperelíptica, entonces esto probablemente producirá familias de registros que respondan a la pregunta de David, es decir, curvas de género dos con rango muy grande. También es interesante para todos los géneros, así que no restrinja las respuestas a 2. Por otro lado, las respuestas que contengan información aritmética, por ejemplo sobre curvas elípticas sobre los racionales, son más que bienvenidas.

Answer 1

En dos trabajos fechados en 2014 y 2016 (es decir, después de 6 años de que se publicara la pregunta), esta cuestión fue completamente resuelta en el caso de género 2 por E. Kani. Como Francesco Polizzi mencionó, esta cuestión fue parcialmente resuelta en 1965 por Hayashida y Nishi. Sólo trabajaron en las variedades abelianas $A$ en $\mathbb{C}$ con el producto de dos $CM$ curvas elípticas por el orden máximo. Así que hay dos cosas para eliminar los supuestos: 1) $A$ puede ser $E_1\times E_2$ con sus anillos de endomorfismo no son necesariamente isomorfos. 2) Su anillo de endomorfismo puede ser de cualquier orden, es decir, no necesariamente del orden máximo.

Utilizando el invariante Humbert refinado, que es una forma cuadrática integral, Kani tradujo este problema geométrico en un problema aritmético y eliminó estas dos suposiciones.

Esta es la declaración para el $CM$ caso de [JT]:=Jacobianos isomorfos a un producto de dos curvas elípticas y formas cuadráticas ternarias, 2014.:

Sea $E_1\sim E_2$ sean dos isógenas $CM$ curvas elípticas sobre un campo algebraicamente cerrado $K$ con su característica es cero. Entonces no hay ninguna curva de género 2 en $E_1\times E_2$ si y sólo si el mapa de grados en $Hom(E_1,E_2)$ es equivalente a una de las 15 formas $f(x,y)=ax^2+bxy+cy ^2$ cuyos coeficientes $(a,b,c)$ se encuentran en la siguiente lista: $\mathcal{S}=\{k(1,1,1):k=1,2,4,6,10\}\cup\{k(1,0,1):k\in 1,2,6\}\cup\{(1,1,2),(1,1,4)\}\cup\{2(1,1,c):c=3,9\}\cup\{2(1,0,c):c=2,5\}\cup\{2(2,0,3)\}.$

El enunciado para el caso no MC puede encontrarse en el Teorema 1 de [JT]. Su demostración puede encontrarse en el artículo de The moduli spaces of Jacobians isomorphic to a product of two elliptic curves, 2016.

Algunas notas: La suposición de la característica 0 puede eliminarse. Esto también lo hicieron Ibukiyama/Katsura/Oort.

La lista exacta sólo se conoce en el marco del GRH en el caso no CM. Pero la solución de Kani no depende de la GRH.

Answer 2

El artículo de Hayashida y Nishi "Existence of curves of genus two in the product of smooth elliptic curves", J. Math. Soc. Jap 17, responde parcialmente a la pregunta:

"¿Cuándo es el producto de dos curvas elípticas $isomorphic$ al jacobiano de un género $2$ curva?"

El resultado es el siguiente:

TEOREMA Consideremos un producto de dos curvas elípticas $A:=E \times F$ cuyo anillo de endomorfismo es isomorfo al orden principal de un campo cuadrático imaginario $Q(\surd-m)$ . Entonces $A$ puede ser un jacobiano para todos los valores de $m$ excepto $1, 3, 7$ y $15$ . Además, sólo hay un número finito de curvas de género $2$ en $A$ hasta isomorfismo.